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Demotrer des asymptotes

Posté par
lupy 08-10-11 à 14:31

Bonjour,
J'ai un problème avec une partie d'un exercice voilà l'énoncé :
La fonction f est définie sur ]-1;+\infty[
f(x)=\frac{2x^3+3}{x^2-1}

1)
  a) Déterminer les réels a,b,c et d tels que, pour tout x \in ]-1;+\infty[
f(x)=ax+b+\frac{cx+d}{x^2-1}

  b) Démontrer que la droite d'équation y= 2x est une asymptote à la courbe Cf et étudier la positon de Cf par rapport à cette asymptote.
  
  c) Démontrer que Cf admet une autre asymptote.

J'ai essayer de déterminer a,b,c et d mais j'ai fait le calcule est les valeurs sont différentes quand on les compare la fonction de départ avec celle d'arrivé...

Merci

Posté par
malou Webmasterre : Demotrer des asymptotes 08-10-11 à 14:44

Bonjour lupy

Plusieurs manières de faire.
Classiquement, tu prends celle qu'on te donne dans 1)a), tu réduis au même dénominateur, puis tu dis que tu as autant de x^3 dans les 2 expressions, autant de x^2, etc....cela s'appelle identifier
Tu vas trouver tes constantes.
Voilà

Posté par
lupyre : Demotrer des asymptotes 08-10-11 à 17:52

J'ai essayé de calculer donc j'ai :
f(x) = \frac{(ax+b)(x^2-1) + cx + d}{x^2 -1}

Ensuite j'ai dévelopé :
f(x)=\frac{ax^3-ax+bx^2-b+cx+d}{x^2-1}

Mais après je trouve pas les valeurs correcte
Pour a = 2 mais ensuite les autre valeurs on l'aire mauvaise car j'ai b = c = 0 et d = 3
Si on pourrait me dire ou je me plante merci

Posté par
malou Webmasterre : Demotrer des asymptotes 08-10-11 à 17:56

attention des x tu en as -a+c d'un côté et 0 de l'autre, cela donne c=a donc c=2
le reste est correct !

Posté par
lupyre : Demotrer des asymptotes 08-10-11 à 21:43

Ok sa marche avec a = 2; b = 0; c = 2 et d = 3
Pour la b) il faut que je fasse quoi ?
Je dois faire f(x)-2x et faire tendre vers l'infinie?

Posté par
malou Webmasterre : Demotrer des asymptotes 09-10-11 à 10:52

oui, c'est ça
mais tout au long de l'ex, n'oublie pas que maintenant tu as 2 formes d'écritures pour f(x), et donc tu peux choisir celle qui donnera les calculs les plus simples
il me semble que pour (f(x) - 2x, ce serait la nouvelle forme....

Posté par
lupyre : Demotrer des asymptotes 09-10-11 à 13:17

J'ai fait la limite et sa tend vers 0 donc y=2x est bien asymptote oblique
Maintenant je dois faire la limite de f(x) en 1 car je suppose que si 1 est une valeur interdite elle doit être  asymptote verticale et la limite doit être égale a 0 aussi je me trompe?

Posté par
malou Webmasterre : Demotrer des asymptotes 09-10-11 à 15:27

OK

Citation :
Maintenant je dois faire la limite de f(x) en 1 car je suppose que si 1 est une valeur interdite elle doit être asymptote verticale


oui c'est ça

par contre
Citation :
la limite doit être égale a 0 aussi je me trompe?


tu te trompes là, ta limite va être + ou - l'infini...

vas y, fais le !

Posté par
lupyre : Demotrer des asymptotes 09-10-11 à 15:50

Oui sa tend vers plus l'infinie

Ensuite la suite de l'exercice j'ai eu un nouveau problème...

2) a) Calculer pour x \in ]1;+[, f'(x)

   b) Puis démontrer que sur ]1;+[, f'(x) a le même signe que g(x) où g est la fonction définie par : g(x) = x³ - 3x -3
  
   c) Étude du signe de g(x) sur ]1;+[
      - Dresser le Tableaux de variation de g(x) après avoir calculer g'(x) sont signe et les limites
      - Démontrer que g(x)=0 admet dans ]1;+[  une unique solution que l'on notera alpha
      - Déterminer alors le signe de g(x) sur ]1;+[
   d) En déduire que la fonction f admet un minimum sur intervalle ]1;+[

la a) j'ai réussie
sa me donne :
f'(x)= \frac{2x^4-6x^2-6x}{(x^2-1)^2}

Mais quand j'arrive à la b) je ne vois plus quoi faire...
Faire le tableaux de signe pour f'(x) ?
J'ai essayer  mais pour 2x⁴-6x²-6x je ne vois pas comment déterminer ses signes.

Posté par
lupyre : Demotrer des asymptotes 10-10-11 à 20:53

C'est bon j'ai réussis la 2 b)
Maintenant je cherche la 2) c)


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