si vous pouviez m'aider pour ce petit problème , svp!
On considère un escalier de 15 marches (de mêmes hauteurs). Une grenouille se présente devant celui-ci. Pour arriver à la 15e marche, elle peut de façon aléatoire faire des bons simples (1 marche gravie) et des bonds doubles (2 marches à la fois). On désire connaître le nombre de possibilités dont dispose la grenouille pour atteindre le haut de l'escalier.
Soit X le nombre de bonds simples et Y le nombre de bonds doubles.
1. Evaluer X+2Y. Donner les valeurs possibles de X, Y et X+Y.
2. Pour chaque valeur k de X ainsi trouvées indiquer le nombre de façons d'effectuer ces k bonds simples.
3. En déduire le nombre total de possibilités, sa valeur numérique.
X+2Y=15
X de 1 à 15
Y de 1 à 7
pour le reste je sais pas trop
Alors le 2 non plus n'est pas difficille. Je commence
X=1 => Y=7 donc une façon. Il reste juste à savoir quand le pas simple sera effectué. Au début, après le premier pas double, après le deuxième pas double, ... ou en dernier. Donc il y a 8 possibilités.
X=2 => Y=6.5 donc pas possible
etc
pour la question 1, qu'elles sont les valeurs possibles de X+Y, pour toi?
Si tu regardes déjà les valeurs possibles de X et Y ça va tout seul après. Par exemple on a vu que X=1 => Y=7 => X+Y=8
Regarde un peu la suite du problème
Appelons Fn le nombre total de possibilités qu'à la grenouille pour atteindre la nième marche. De même Fn-1...
1. Avant de sauter pour arriver à la nième marche, où peut se trouver la grenouille? En déduire une relation entre Fn, Fn-1 et Fn-2.
2. Evaluer directement F1, F2, calculer F15.
3. Généraliser: en utilisant le triangle de Pascal, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel:
(n 0)+(n+1 2)+(n+2 4)+….(2n 2n)=F2n
(n+1 1)+(n+2 3)+(n+3 5)+…+(2n+1 2n+1)=F2n+1
Complément :
1. Soit (Un) définie par Un=Fn/Fn-1. Calculez U1, trouver une relation de récurrence entre Un et Un-1.
2. On pose h=(1+5)/2 et on définit Vn par Vn=(Un-h)/(Un+1/h). Montrer que Vn est une suite géométrique dont précisera le premier terme et la raison. On pourra remarquer que h²=h+1 et h3=2h+1.
3. En déduire l'expression de Vn puis de Un. Montrer que Un converge et préciser sa limite. Que dire de lim Fn quand n tend vers + ?
J'essaie de trouver la relation entre Fn, Fn-1 et Fn-2. Apparemment ce serait Fn= Fn-1+ Fn-2. mais je n'arrive pas comprendre pourquoi?
En fait je n'ai jamais entendu parlé de Fibonacci
Oui, ta relation est bonne.
Pour parvenir à la marche n, la grenouille venait
- soit de la marche n-2 et a fait un bon de 2 marches,
- soit de la marche n-1 et a fait un bon d'une marche.
donc Fn = Fn-2+Fn-1
oui mais pourquoi les possibiltés pour aller à la marche n-2 + celles pour aller à la marche n-1 donnent celles de n. Je comprends pas.
Admettons, mais comment tu calcules F15?
C'est un calcul de 20 lignes!!
Je viens de voir ton message F2=2 (2 bonds simples ou 1 double). comment arrives-tu à 610?
Le plus simple est de faire la somme directement. Il suffit d'additionner les deux derniers termes de la suite. Franz avait commencé, je fais encore 2 étapes:
F3=F2+F1=1+1=2
F4=2+1=3
etc jusqu'à arriver à 15. Il existe une formule directe, mais quand tu l'auras vue tu préféreras encore faire 15 sommes.
Isis
Pour répondre à ta question du post précédant, c'est-à-dire pourquoi les possibilités d'aller à la marche n est la somme de celles des deux marches précédentes, il faut utiliser l'indication de la donnée: "Avant de sauter pour arriver à la nème marche, où peut se trouver la grenouille?" Le dernier saut a été de 1 marche ou de 2 marches. Donc la grenouille était soit à la marche n-1 soit à la n-2.
Hypothèse de récurrence :
(Hn) :
Initialisation : (H1)
Hérédité :
Supposons (Hn-1) vraie
Je t'envoie la fin de l'hérédité plus tard
L'hypothèse de récurrence comporte 2 assertions, l'une concerne les termes pairs de la suite (F), l'autre les termes impairs. Or la formulation de ces 2 assertions diffère.
Pour vérifier l'hypothèse de récurrence, il faut vérifier que l'initialisation et l'hérédité sont vraies pour les termes pairs et les termes impairs d'où la nécessité de vérifier les 2 points.
Je suis ravi que cela te rende service. Ca me fait plaisir d'avoir un retour sur les messages que j'ai pu envoyer et savoir qu'ils ne restent pas lettre morte.
A bientôt
Salut! je suis en train de revoir ce que tu as fait et j'essaie de comprendre.
Comment expliques-tu: Vn=(-1/h²)n-1.V1? En fait que veut dire
signifie produit. C'est la même chose que si ce n'est que l'on multiplie tous les termes au lieu de les additionner.
En ce qui concerne , on vient de prouver à la ligne au dessus que la suite est géométrique () . Pour écrire le terme de rang n en fonction du premier terme et de la raison, reporte-toi à un cours sur les suites géométriques.
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