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Dénombrement : 4 couleurs 5 cases nombre coloriages possibles
Bonsoir,
un petit exercice sur le dénombrement qui me laisse sans voix ..
On dispose de quatre couleurs : vert, jaune, rouge et bleu pour colorier les cinq cases du motif ci-dessous :
Questions :
1) Combien de coloriages différents sont possibles ?
2) Combien de coloriages avec exactement une case en bleu sont possibles ?
3) Combien de coloriages avec au moins une case en bleu sont possibles ?
1) On cherche le nombre de listes à répétitions de 5 éléments avec 4 couleurs possibles ...
Bonsoir
1) On cherche le nombre de listes à répétitions de 5 éléments avec 4 couleurs possibles ...
--> Oui ! Donc quel est ce nombre ?
Indication : Le nombre de p-listes d'éléments à n éléments est np.
Bonsoir jonjon71, merci pour votre réponse :
je sais bien mais je sais pas qui est n et qui est p ...
Bonjour,
Si j'ai bien compris, une p-liste est une liste contenant p éléments.
Ici en l'occurence on a des listes de 5 éléments (5 cases).
Mais l'ensemble lui, qui est l'ensemble des couleurs comprend 4 éléments : rouge, vert, bleu et jaune.
Et comme le nombre de p-listes d'un ensemble à n éléments est ,
1)
2) Je raisonne commme ça :
une case est bleue.
Il reste 4 cases et 3 couleurs.
le nombre de listes de 4 cases et 3 couleurs est .
car l'unique case bleue peut-être à la case 1, 2, 3, 4, ou 5.
3) Là par contre il semblerait que j'ai tout faux :
Je set une case bleue, elle peut prendre 5 places comme précédemment.
Il reste alors 4 cases et 4 couleurs, le nombre de listes de 4 cases et 4 couleurs est .
Comme avant donc je dirais que le nombre de coloriages différents avec au moins une case bleue est sauf que c'est impossible puisque supérieur à
.
Voilà pour mes tentatives
Ah ! Eurêka !
il fallait réfléchir autrement, en fait au moins une case bleue signifie "jamais des couleurs autres que bleu"
les cas où il n'y a pas de bleu sont les listes de 5 cases avec 3 couleurs, ce nombre de listes est , d'où :
3)
1) Combien de coloriages différents sont possibles ?
2) Combien de coloriages avec exactement une case bleue sont possibles ?
3) Combien de coloriages avec au moins une case bleue sont possibles ?
1) Il y a à chaque fois 4 possibilités et l'on répète ça 5 fois donc d'après le cours il y a possibilités.
2) Je choisis 1 case à colorier en bleu parmi 5 et il y a combinaisons. Une fois que c'est fait, il me reste 3 choix de couleur pour 4 cases, ça fait
. Il y a donc
grilles avec un unique bleu.
3) Retournons la question : Combien de coloriages ont aucun bleu ? Il faut donc choisir 5 fois parmi 3 couleurs et non plus 4, il y a coloriages sans bleu. Mais nous on veut savoir combien on au moins un bleu, il y a 1024 grilles différentes et ces grilles ont de 0 à 5 bleus,
ont aucun bleu donc on fait simplement
.
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