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Dénombrement

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
17-06-05 à 19:17

Combien y a t-il dans Mn() de matrices nilpotentes à coefficients dans {0,1} ?

Posté par tutu (invité)re : Dénombrement 18-06-05 à 10:37

Salut,

Original comme exo


C'est sûrement pas la façon la plus simple de faire mais je ferais comme ça :

Si A est nilpotente alors tr(A) = tr(A²) = .... = tr(a^n) = 0 (la réciproque est vraie mais on s'en f.. ici)

Comme tr(A) = 0, la diagonale est nulle (les coeffs sont 0 ou 1).
On regarde la trace de A² : on a forcément A[i,j] * A[j,i] = 0.

Réciproquement une telle matrice est bien nilpotente.

Comment kiyenna ?

Je dirais : 2^(n*(n-1)) - 1
(ou 2^(n*(n-1)) - 2 si on vire la matrice nulle).

Posté par jmix90 (invité)escusé 22-07-05 à 17:06

Escusé mon ignorance mais c'est quoi une matrice nilpotente ?

Merci d'avance

Posté par
Nightmare
re : Dénombrement 22-07-05 à 17:45

Bonjour

Un élément a est dit nilpotent (d'ordre n) si an=0


Jord

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Dénombrement 22-07-05 à 19:02

Oui Nightmare (Modérateur) c'est exacte j'ajouterais 2 remarques:
1°) Si a est un élément nilpotent d'un anneau (A,+,\times) le plus petit entier non nul p véifiant a^p=0_{A} s'appelle l'indice de nilpotence de a .
2°) Pour qu'une matrice M carrée d'ordre n soit nilpotente il faut et il suffit que M^n=0 (0 désigant la matrice nulle).
le problème posé revient donc à dénombrer l'ensemble des matrices M carrée d'ordre n à coefficients dans \{\0,1\} telles que M^n=0

Posté par jmix90 (invité)oh 22-07-05 à 20:11

Ok, merci de ces renseignements précis !



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