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Niveau autre
denombrement
Posté par carrocel
Bonjour,
un ami m'a pose un probleme de denombrement et comme j'ai jamais su bien y faire, je vous demande de l'aide (et puis ca m'interesse aussi)
Soit ABC un triangle, D, E, F trois points distincts du segment [AB], G, H, I et J 4 points disctincts du segment [BC].On trace les segments [CD], [CE] [CF], [AG], [AH], [AI] et [AJ] et on demande combien il y a de triangles dans la figure obtenue.
je connais lareponse qui apparemment serait 90 mais ce que je cherche c'est une methode e denombrement...je comptait faire en tracant petit a petit les segments et degager une regle generale sur ce que ca produisait mais...
Merci !
Posté par str33 (invité)element de reponse
bonjour
puisque chaque triangle est construit de trois points
On va tout d'abord calculer combien on a de sous ensemble de trois point de notre ensemble totale de point mais comme nous savons qu'il y des points qui sont aligner on va soustraire leur nombre du nombre précedent
Posté par tutu (invité)re : denombrement
Salut,
Quand on a du mal à résoudre un problème, autant essayer de le généraliser 
dans cas où il y a p points (y compris les sommets) sur un côté et n de l'autre (n,p >= 4), je propose : C(n,2)+C(p,2) + n+p-4
Ce qui fait 32 dans notre cas. Je suis loin des 90 .... rien de telle qu'un pb de dénombrement pour se planter
Pour résoudre ce problème, il faut dénombrer les droites et non les points (puisque les triangles à recenser vont être formées par des droites déjà tracées)
Si on regarde de près, nous avons
-la droite AC
-un faisceau de 5 autres droites issues de A (AB, AG, AH, AI, AJ)
-un faisceau de 4 autres droites issues de C (CD, CE, CF, CB)
Pour former un triangle on peut
-choisir AC et une droite de chacun des faisceaux soit 4*5=20 possibilités
-choisir deux droites du faisceau A et une du faisceau C, soit 10*4=40 possibilités
-choisir une droite du faisceau A et deux du faisceau C soit 5*6=30 possibilités
On trouve bien 90 en tout.
La méthode se généralise aisément: si on a ajouté m-1 points sur AB et n-1 sur BC le nombre de triangles sera mn+m(m-1)n/2+mn(n-1)/2=mn(m+n)/2