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Dénombrement

Posté par
pppa
27-07-14 à 10:21

Bonjour

pouvez-vous svp m'aider à résoudre le problème suivant.

Avec n chiffres distincts donnés, combien peut-on former de nombres de n chiffres, les n chiffres pouvant être utilisés 1,2,....n fois pour former un nombre.

Empiriquement (n=2 ; 3 ; 4) je constate que la réponse serait n^n, mais je ne parviens pas à le démontrer.

J'ai d'abord pensé à des permutations ou à des combinaisons avec répétition, mais les formules ne se vérifient pas.

Le résultat ressemble à celui du nombre d'applications d'un ensemble dans un autre, mais comme un chiffre peut être utilisé plusieurs fois pour former un nombre, je ne trouve pas de relation qui soit une application.

Enfin j'ai essayé une récurrence sur n, dont l'hérédité est comme suit

Avec chacun des n^n nombres, je peux former n^n.(n+1) nouveaux nombres sur le rang des unités,
le n+1 ème nombre permet alors de former n.(n+1) nouveaux nombres supplémentaires en l'intercalant dans les dizaines.

puis au rang n+1 je trouve que l'on peut former (n+1)^n nombres supplémentaires avec le nouveau nombre au rang le plus haut.

Mais je ne retrouve plus mon résultat pour n = 3, donc n+1 = 4

Pouvez-vous m'aider si vous avez déjà rencontré et résolu cette question ?

Merci par avance

Posté par
Wataru
re : Dénombrement 27-07-14 à 12:27

Salut,

Soit un nombre à n chiffres.
Pour chaque emplacement on a n choix possibles.
Et on répète ce choix n fois.

On a donc normalement...

A moins que je me goure dans mon raisonnement °^°

Posté par
veleda
re : Dénombrement 27-07-14 à 13:04

bonjour,
d'après le texte un chiffre peut être utilisé 1,2...n fois, pas 0 fois?

Posté par
Francchoix
complément 27-07-14 à 13:26

La réponse est bien nn, sauf si 0 peut être un des n chiffres (ce n'est pas précisé), dans ce cas il faut supprimer 0 de la première place; donc tu n'as plus que n-1 possibilités pour le choix du premier chiffre, puis de nouveau n possibilités pour choisir le 2°, puis le 3°, ..., puis le n°; ce qui donne (n-1)nn-1.

Posté par
Francchoix
Précision 27-07-14 à 13:31

Sinon, tu n'a pas à justifier nn, c'est une situation multiplicative qui pourrait être associée à un arbre exponentiel: nn branches terminales!

Posté par
jeveuxbientaider
re : Dénombrement 27-07-14 à 14:25

Bonjour,

Sujet mal posé .... les chiffres sont choisis parmi n chiffres : 0 , 1 , 2 , ...... 9 , A , B , ....

Les nombres 001 et 1 sont-ils considérés comme identiques (faire la différence entre un nombre et un code ! ) ?

Posté par
pppa
re : Dénombrement 27-07-14 à 16:18

Bonjour

merci pour vos réponses, sur la base desquelles je vais réfléchir.

Les chiffres dont il est question sont les dix chiffres de notre numération décimale ; c'est vrai (ce n'est pas précisé) que si 0 fait partie du "lot" de n chiffres, le calcul doit/devrait tenir compte que le 0 ne peut être placé au rang n.

pour l'instant je vais raisonner sur les neufs premiers entiers naturels non nuls.

Je me permettrai de revenir vers vous si besoin.

Merci

Posté par
jeveuxbientaider
re : Dénombrement 27-07-14 à 16:46

et la remarque de veleda tu ne l'oublies pas

Citation :
d'après le texte un chiffre peut être utilisé 1,2...n fois, pas 0 fois?

Posté par
jeveuxbientaider
re : Dénombrement 27-07-14 à 16:47

Parfois (très souvent) un énoncé bien recopié permet de ne pas faire des erreurs quand on te répond !

Posté par
veleda
re : Dénombrement 27-07-14 à 18:47

en effet si aucun des n chiffres ne peut être absent de l'écriture du code il n'y a que n! possibilités

Posté par
Francchoix
Précision 27-07-14 à 19:02

Et encore, il faut toujours tenir compte du zéro!

Posté par
pppa
re : Dénombrement 27-07-14 à 19:10

>>Veleda

Bonjour

Citation :
si aucun des n chiffres ne peut être absent de l'écriture du code il n'y a que n! possibilités


Je ne comprends pas ; n! c'est le nombre de permutations à n éléments ; faites un essai avec 2 chiffres (1 et 2 par ex ), on a
11 12 21 22 donc bien 22 et non pas 2!

Vois-tu c'est la problématique sur la base de cet exemple simple que je traite (oublions le zéro pour l'instant, je traiterai le cas avec 0 après que j'aurai compris le principe sans le zéro).

Merci pour vos interventions et conseils

Posté par
Wataru
re : Dénombrement 27-07-14 à 19:24

Oui mais là il parlait du cas où on a doit utiliser tous les chiffres, dans ce cas là c'est une bête permutation de n chiffres d'où le n!
Dans le cas plus général, en considérant le 0 pouvant être placé en début, on a déjà donné la réponse plus haut.

Posté par
Francchoix
énoncé 27-07-14 à 19:32

Tu dois être très précis sur ton énoncé, car sinon, il y a plusieurs réponses possibles!

Posté par
jeveuxbientaider
27-07-14 à 21:02

Avec 2 chiffres 0 et 1 on ne peut faire que 0 , 1 et 10  et 11  soit 2 nombres de 1 chiffre et 2 nombre de 2 chiffres

Avec 3 chiffres 0 , 1 , 2 on peut faire 0 , 1 , 2 , 10 , 11 , 12 , 20 , 21 , 22 , 101 , 102 ....

doit-on faire des nombres avec ""n""chiffres avec n chiffres !

Une précision d'énoncé est plus que nécessaire !

Posté par
veleda
re : Dénombrement 28-07-14 à 08:15

>>>pppa
si aucun chiffre ne peut être absent tu ne peux avoir ni 11 ,ni 22 mais simplement 12 ou 21
je voulais simplement te faire remarquer que d'après ton texte tous les chiffres doivent être présents et que ce n'est pas ce problème que tu traites ensuite mais celui où chaque chiffre peut apparaitre 0,1,2.........,n fois et non pas 1,2,3.....,n fois comme le dit ton texte

Posté par
pppa
re : Dénombrement 28-07-14 à 08:50

Je vous remercie toutes et tous pour vos aides.



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