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Dénombrement

Posté par
IdFT
13-06-18 à 04:27

Bonjour et merci d'avance.
Exercice 2.
A l'occasion de la coupe du monde 2010 de football, une usine de brasserie voudrait organiser un jeu concours. Ce jeu consiste à mettre sur le marché des bouteilles gagnantes. Pour cela il faut imprimer sur un certain nombre de capsules un nombre de Cinq chiffres choisis parmi ceux de la liste E = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.
1. Déterminer le nombre de capsules à imprimer.
2. Déterminer le nombre de capsules à imprimer dont le nombre inscrit :
(a) contient des chiffres tous distincts ;
(b) ses chiffres sont tous distincts et il contient deux chiffres pairs ;
(c) contient au moins un chiffres pairs.
3. Toute capsule portant un nombre se terminant par 7 gagne un écran de télévision et celle dont le nombre inscrit commence par 765 gagne un billet d'avion pour l'Afrique du Sud. Combien l'usine doit-elle prévoir :
(a) d'écran de télévision ;
(b) billet d'avion pour l'Afrique du Sud.

Posté par
IdFT
re : Dénombrement 13-06-18 à 04:35

Pour mon travail,
1)N = arrangement de 5 dans 7
2
a)M = combinaison de 5 dans 7
b)j'ai scindé l'ensemble en E' = {2, 4, 6}
on a deux cas :
-le cas ou on a exactement 2 pairs t = combinaison de 2 dans 3
-le cas ou on a exactement 3 pairs x = combinaison de 3 dans 3
soit au total H = combinaison de 2 dans 3 + combinaison de 3 dans 3
c) comme on a pas préciser que les chiffres sont distincts, alors
N' = arrangement de 1 dans 3 +  arrangement de 2 dans 3 + arrangement de 3 dans 3 .
3)
a) N" =   arrangement de 4 dans 7
b) M" = arrangement de 2 dans 7.

Posté par
IdFT
re : Dénombrement 13-06-18 à 05:32

IdFT @ 13-06-2018 à 04:35

Pour mon travail,
1)N = arrangement de 5 dans 7
2
a)M = combinaison de 5 dans 7
b)j'ai scindé l'ensemble en E' = {2, 4, 6}
on a deux cas :
-le cas ou on a exactement 2 pairs t = combinaison de 2 dans 3
-le cas ou on a exactement 3 pairs x = combinaison de 3 dans 3
soit au total H = combinaison de 2 dans 3 + combinaison de 3 dans 3
c) comme on a pas préciser que les chiffres sont distincts, alors
N' = arrangement de 1 dans 3 +  arrangement de 2 dans 3 + arrangement de 3 dans 3 .
3)
a) N" =   arrangement de 4 dans 7
b) M" = arrangement de 2 dans 7.

je pense avoir fait une erreur au niveau du 1) je crois plutôt que c'est la somme des tirages possible lorsque les chiffres sont tous distincts et lorsqu'ils ne le sont pas soit
N= arrangement de cinq dans 7 + combinaison de 5 dans 7

Posté par
patrice rabiller
re : Dénombrement 13-06-18 à 06:56

Bonjour,
En effet, ta réponse à la question 1 est fausse. Il ne s'agit pas du nombre d'arrangements de 5 objets choisis parmi 7 car on peut, à priori, répéter plusieurs fois le même objet.
Il faut utiliser plutôt les p-listes.
Pour la question 2a) par contre, il s'agit effectivement du nombre d'arrangements de 5 parmi 7.
Pour la question 2b), le nombre de  5 chiffres doit comporter 2 chiffres pairs (à choisir parmi {2,4,6} ) et donc 3 chiffres impairs (à choisir parmi {1,3,5,7} ).
Il faut donc multiplier le nombre d'arrangements de 2 parmi 3 par le nombre d'arrangements de 3 parmi 4.
Pour la question 2c), je procèderais par la recherche de l'évènement contraire : "aucun chiffre pair"
Pour la question 3a), on sait que le nombre se termine par 7. Il suffit donc de compter combien il y a de possibilités pour les 4 premiers chiffres (avec répétitions éventuelles)
Même idée pour la question 3b).

Posté par
passant13
re : Dénombrement 13-06-18 à 11:12

Pour la question 1 il s'agit de trouver combien de capsules différentes on peut imprimer sachant que chaque capsule porte un nombre de 5 chiffres choisis dans E avec Card E = 7

Il faut compter nombre d'applications différentes entre un ensemble à 5 éléments et un ensemble à 7 éléments.

En dessinant 5 cases et en imaginant qu'on les remplit avec les éléments de E, la première case contient 7 possibilités, la deuxième pareil ... la cinquième pareil

Le nombre de possibilités c'est 7 x 7 x 7 x 7 x 7

Pour les courageux on peut aussi faire le même dessin avec un arbre

Posté par
passant13
re : Dénombrement 13-06-18 à 11:19

Pour la question 2 il s'agit de trouver le nombre des applications injectives d'un ensemble à 5 elements vers un ensemble a 7 elements.

On dessine toujours 5 cases, la premiere case a 7 possibilités, la seconde case a 6 possibilites (7 moins le choix de la premiere case), la troisieme case a 5 possibilites (7 moins les 2 choix precedents) etc

On trouve 7 x 6 x 5 x 4 x 3

C'est a dire les arrangements de 7 a 5

Posté par
malou Webmaster
re : Dénombrement 13-06-18 à 13:46

passant13, je vois que tu es nouveau
Si possible, amener le demandeur à trouver la solution, mais pas lui donner un résultat tout fait ....

Merci
(modérateur)

Posté par
IdFT
re : Dénombrement 13-06-18 à 14:00

Merci à tous pour vos réponses mais surtout pour la rapidité et l'explicité.
J'avais beaucoup réfléchi par rapport à cet exercice mais je n'avais pas raison dommage.

Posté par
IdFT
re : Dénombrement 13-06-18 à 14:02

patrice rabiller @ 13-06-2018 à 06:56

Bonjour,
En effet, ta réponse à la question 1 est fausse. Il ne s'agit pas du nombre d'arrangements de 5 objets choisis parmi 7 car on peut, à priori, répéter plusieurs fois le même objet.
Il faut utiliser plutôt les p-listes.
Pour la question 2a) par contre, il s'agit effectivement du nombre d'arrangements de 5 parmi 7.
Pour la question 2b), le nombre de  5 chiffres doit comporter 2 chiffres pairs (à choisir parmi {2,4,6} ) et donc 3 chiffres impairs (à choisir parmi {1,3,5,7} ).
Il faut donc multiplier le nombre d'arrangements de 2 parmi 3 par le nombre d'arrangements de 3 parmi 4.
Pour la question 2c), je procèderais par la recherche de l'évènement contraire : "aucun chiffre pair"
Pour la question 3a), on sait que le nombre se termine par 7. Il suffit donc de compter combien il y a de possibilités pour les 4 premiers chiffres (avec répétitions éventuelles)
Même idée pour la question 3b).

Merci encore.
Mais, cependant, j'aimerais que vous m'expliquez si possible l'évènement contraire car j'ai voulu procéder ainsi mais je ne connais pas comment ça marche

Posté par
patrice rabiller
re : Dénombrement 13-06-18 à 14:24

Le contraire de "au moins un chiffre pair" est "tous les chiffres sont impairs".

Le nombre total de capsules à imprimer est 75.
Le nombre de capsules portant un numéro formé uniquement de chiffres impairs est ... (à toi de calculer)
Par soustraction, on peut en déduire le nombre de capsules portant un numéro contenant au moins un chiffre pair.

Posté par
IdFT
re : Dénombrement 13-06-18 à 15:30

patrice rabiller @ 13-06-2018 à 14:24

Le contraire de "au moins un chiffre pair" est "tous les chiffres sont impairs".

Le nombre total de capsules à imprimer est 75.
Le nombre de capsules portant un numéro formé uniquement de chiffres impairs est ... (à toi de calculer)
Par soustraction, on peut en déduire le nombre de capsules portant un numéro contenant au moins un chiffre pair.

Merci beaucoup.
si j'ai bien compris le contraire de
-au moins c'est aucun
-au plus est donc au moins?
je parle bien sur dans un cas général pouvant intervenir même dans d'autres exercices.

Posté par
malou Webmaster
re : Dénombrement 13-06-18 à 16:25

Citation :
si j'ai bien compris le contraire de
-au moins c'est aucun

non
le contraire de "au moins 1", c'est aucun
mais le contraire de " au moins 3", c'est en avoir 0, 1 ou 2

Citation :
si j'ai bien compris le contraire de
-au plus est donc au moins?

non plus...
c'est du français, représente toi en français la situation
en avoir au plus 2, c'est en avoir 0, 1 ou 2
le contraire est donc en avoir 3 ou plus
OK ?

malou edit après avoir vu le message de Yzz en dessous > ai rajouté le 0 manquant, oups....

Posté par
Yzz
re : Dénombrement 13-06-18 à 16:46

Salut,

Citation :
si j'ai bien compris le contraire de
-au moins c'est aucun

non
le contraire de "au moins 1", c'est aucun
mais le contraire de " au moins 3", c'est en avoir 0 ou 1 ou 2


Posté par
IdFT
re : Dénombrement 14-06-18 à 06:11

Ok.
Merci à tous.

Posté par
malou Webmaster
re : Dénombrement 14-06-18 à 09:25

de rien

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