Bonjour toureissa.

toureissa @ 29-06-2018 à 10:21

chercher le nombre  de lois de compositions internes sur  E revient à  chercher  le nombre d'applications de  E*E dans E qui d'après  le cours vaut

Oui j'ai compris  le cardinal  de P est donné  par .

Pour le nombre de lci qui possède  un neutre.

Il y'a  2*n couples possibles  avec le neutre 2 à 2 même  image.  Donc il y'a   lci possédant  un neutre sur E. ?

salut

je ne voit pas l'intérêt de parler de relation d'ordre ....
je pense que tu veux plutôt dire numéroter les éléments de E

si + est une loi interne sur E alors se définir + c'est se donner l'image de a + b pour tout couple (a, b) de E x E

il y a donc n^2 lois internes


si cette loi est commutative alors a + b = b + a

si on visualise un tableau n x n donnant a + b on "voit" bien qu'il nous suffit de la moitié de ce tableau lorsqu'on le coupe suivant une diagonale ...


avec un neutre il faut savoir si la loi est commutative ou pas

si e est neutre à  gauche alors on a e + a = a pour tout a
mais a + e peut être quelconque ...

Bonjour

Je me mêle de ce qui ne me regarde pas… Il me semble que c'est admis qu'un élément neutre l'est des deux côtés, même si la loi n'est pas commutative. On précise s'il s'agit d'un élément neutre d'un seul côté.

erratum : il y a en général, sans précision sur la nature de la loi, lois internes possibles.
En effet, à chacun des couples de tu as le choix de n valeurs possibles.

Pour le "on voit" de la loi commutative, j'ai formalisé, c'est tout. Mais numéroter les éléments est équivalent à les placer selon un certain ordre, celui de leur indice, par exemple.

Bref, d'une manière générale, compter le nombre de lois internes qui vérifient tels et/ou tels critère(s) revient à calculer le nombre p de couples de E x E à qui on va donner une valeur. Les autres se déduisant des critères que l'on a choisit.

Le nombres de loi vérifiant le critère étant alors .

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Au sujet de la présence du neutre.

Quand on ne précise pas, l'expression "la loi interne possède un élément neutre" signifie a + e = e + a = a.
Avoir un neutre à gauche et un neutre à droite est équivalent à avoir un neutre tout court (il suffit pour le voir de confronter les deux neutres : eg = eg + ed = ed)
Mais effectivement, on peut avoir un neutre à gauche seul (et dans ce cas pas à droite sous peine d'être le même) ou un neutre à droite seul (et pas à gauche sous peine d'être le même)

Si la loi n'est pas commutative alors la présence du neutre fait qu'on se dispense d'attribuer des valeur à couples de la forme (x;e) pour x balayant E sauf e et pour les couples (e;x) pour x balayant E, il ne prennent qu'une valeur possible.
Du coup, il reste à attribuer choix de valeurs aux couples restants.
Du coup on a loi internes possibles.

Et donc si la loi est commutative, cf la question 2 avec un ensemble E' ne contenant que n-1 éléments. On aura alors et de nouveau, le nombre de lois internes commutatives sur E et possédant un neutre est .

Bonjour jsvdb

Vous oubliez de compter les possibilités de choix dudit neutre.

Bonjour Jezebeth.
Très juste.
Il y a n choix du neutre. Donc il suffit d'ajouter 1 aux exposants.

Je vous remercie  beaucoup  j'ai bien compris !