salut

pour construire une partie de E donc un sous-ensemble de E tu as une façon bien simple de faire : pour chaque élément de E tu décides de le prendre ... ou pas ... donc tu as immédiatement 2^n parties de E en décidant de prendre ou ne pas prendre chacun des n éléments de E

Merci pour votre réponse.

Par contre, pourquoi 2^n ?

Merci et bonne soirée.

Bonjour
fais un arbre : élément 1, élément 2, élément 3, etc jusqu'à élément n
tu démarres à gauche avec deux branches : on prend (en haut) ou ne prend pas (en bas) l'élément 1 pour notre partie A
au bout de chacune, encore deux branches : on prend (en haut de chaque) ou on ne prend pas (en bas de chaque)l'élément 2. Et ainsi de suite

à droite de ton arbre, tu écris la partie A obtenue en suivant le chemin (dans le cas de deux éléments a et b, tu auras de haut en bas {a,b}, {a}, {b}, )

es-tu d'accord que tu auras ainsi la liste complète des parties de E ? et combien y en aura-t-il ?

    Pour montrer  (sans utiliser le binôme) que  pour tout n *  on a Card(P({1,....,n}) = 2ⁿ  , pourquoi ne pas conseiller une récurrence ??

Bonjour,
Oui la récurrence permet de démontrer ; mais c'est dommage de passer à côté de ce qu'explique carpediem.
Un exemple va peut-être aider ?
E = {a,b,c,d,e,f} ; donc card(E) = 6 .
Pour décrire une partie de E, on peut citer ses 6 éléments en précisant "pris" ou "non pris ".
a non pris, b pris, c pris, d non pris, e non pris, f pris donne la partie {b,c,f} .

Choisir une partie de E revient à choisir entre "pris" et "non pris " successivement 6 fois.
6 choix successifs entre 2 possibilités : 222222 manières de choisir une partie de E .

Merci beaucoup à tous pour votre aide.

Les propos de carpediem sont devenus beaucoup plus clairs grâce aux exemples de lafol et de Sylvieg !

Mais maintenant, comment démontrer cela proprement et rigoureusement ? De 2 méthodes différentes en plus comme le demande l'énoncé ?

Merci encore, d'autre part j'ai posté un sujet "Dénombrement 2", pourriez-vous y jeter un coup d'oeil s'il vous plaît ?

MERCI beaucoup.

L'énoncé demande de dénombrer de 2 manières différentes l'ensemble des parties de [|1,n|].
Une manière : Celle qui donne 2ⁿ .
Une autre manière : Nombre de parties à 0 élement + nombre de parties à 1 élément + nombre de parties à 2 éléments + ... + nombre de parties à n éléments.

OK, ça y est, merci, je crois que j'y vois vraiment plus clair !

Mais par contre, ce que je ne vois toujours pas, c'est comment démontrer proprement (rigoureusement) ces 2 manières ?

Merci encore.

Il faut faire des phrases en français.
Genre : Choisir une partie A de E revient à choisir successivement pour chacun des n éléments de E s'il est ou pas dans A .
Donc n choix successifs à faire avec 2 possibilités pour chacun de ces n choix.

Mais il faut rédiger avec sa personnalité.

OK, c'est vraiment très clair, merci beaucoup !

Et pour la deuxième méthode il faut aussi rédiger avec des phrases en français ?

A toi de voir si tu trouves une autre manière de justifier.

Donc cela suffit pour la deuxième méthode de dire que :

Nombre de parties à 0 élement + nombre de parties à 1 élément + nombre de parties à 2 éléments + ... + nombre de parties à n éléments. = de k=0 à n de k parmi n.

Comment justifier cela ?

Que veux-tu justifier de plus ?

ça veut dire quoi k parmi n ?

k parmi n signifie :

(n)
(k) (coefficient binomial)

Mais faut-il justifier l'égalité écrite dans mon message de 20h42 ?

Merci pour l'aide...

certes !!! mais c'est quoi k parmi n ?

abus de formalisme et de formule sans intérêt ...

le dire (rigoureusement) en français est une preuve largement suffisante ...

Je ne suis pas d'accord. Je ne suis pas sûr que ce soit si évident que cela. La preuve :

etudiantilois @ 21-07-2019 à 20:42


Nombre de parties à 0 élement + nombre de parties à 1 élément + nombre de parties à 2 éléments + ... + nombre de parties à n éléments. = de k=0 à n de k parmi n.

Comment justifier cela ?