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Dénombrement

Posté par
Jam18
05-11-21 à 18:01

Bonjour à tous, j'ai un exercice auquel je bloque dont j'aimerai avoir un coup de main svp, voici l'énoncé :

Lors de la Seconde Guerre mondiale, les Allemands utilisaient la machine Enigma pour s?envoyer des messages chiffrés incompréhensibles pour leurs opposants.
Cette machine chiffrait les informations en faisant passer un courant électrique à travers divers composants : en pressant une lettre sur le clavier, on faisait s?allumer une nouvelle lettre, qui était ajoutée au message codé. Le chiffrement d?Enigma était réputé inviolable, la machine nécessitant de nombreux réglages. Pour déchiffrer les messages interceptés, il fallait retrouver tous les réglages utilisés par les Allemands pour l?envoyer.
Pour ne rien arranger aux affaires des Alliés, ces réglages étaient modifiés chaque jour.

1) Le premier élément de la machine est une série de trois rotors qui permettent de réaliser les premières connexions électriques. Ces rotors sont choisis parmi cinq modèles et l?ordre de positionnement dans la machine est important. Combien de configuration différentes ces rotors permettent-ils ?

Il s'agit d'un arrangement de 3 parmi 5 donc \frac{5!}{2!} = 60 possibilités

2) Chaque rotor peut être placé sur 26 positions différentes, correspondant aux 26 lettres de l?alphabet. Combien de positions différentes peut-on donner à l?ensemble des trois rotors choisis ?

Il y a 3 rotors et chaque rotor à 26 positions donc : 263= 17576 possibilités

3a) La dernière étape consiste à réaliser un câblage sur un tableau de connexion. Vingt lettres sont reliées deux à deux et six restent inchangées.
Combien de manières différentes a?t?on de choisir six lettres inchangées parmi 26 ?
C'est une combinaison de 6 parmi 26 donc : \frac{26!}{20!6!} = 230 230 possibilités

b. Les vingt lettres restantes sont alors reliées deux à deux par un câble. Pour le réaliser, on choisit deux lettres parmi les vingt que l?on relie, puis deux nouvelles lettres parmi les dix-huit restantes et ainsi de suite. L?ordre de sélection des câbles n?étant pas important, combien a-t-on de câblages possibles ?
J'ai fais  une multiplication de combinaison  ( c'est long à écrire je vous l'ai mit en photo ci-dessus :
Je trouve 2.37.1015 possibilités

4)En déduire un ordre de grandeur du nombre de réglages possibles de la machine Enigma.
Merci pour votre aide

Merci pour votre aide

Dénombrement

* Modération >  image recadrée pour plus d'harmonie   *

Posté par
Jam18
re : Dénombrement 05-11-21 à 18:03

Enfaite je suis bloqué à la question 3a et 3b je ne suis pas sur si c'est le bon résultat merci de votre aide

Posté par
carpediem
re : Dénombrement 05-11-21 à 18:17

salut

si ça me semble ok ...

4/ ben il faut multiplier (ou presque) tous ces résultats ...

Posté par
Jam18
re : Dénombrement 05-11-21 à 18:23

carpediem
Oui c'est ce que j'ai fais, on trouve 5.74×1026 environ or j'ai regardé sur internet, le résultat est d'environ 1.59×1020... Je dois faire une modification alors et pas tout multiplié ?

Posté par
carpediem
re : Dénombrement 05-11-21 à 18:30

ben je ne vois pas pour l'instant ...

Posté par
carpediem
re : Dénombrement 05-11-21 à 18:31

as-tu vérifié les résultats précédents ?

Posté par
Jam18
re : Dénombrement 05-11-21 à 18:34

Les 2 premières questions je suis sûr. Les 3a et 3b moins mais elles me paraissent bonne...

Posté par
carpediem
re : Dénombrement 05-11-21 à 18:52

ha oui ... alors peut-être :

Citation :
L'ordre de sélection des câbles n'étant pas important, combien a-t-on de câblages possibles ?

et si tu divises ton résultat final par 10! qu'obtiens-tu ?

Posté par
Jam18
re : Dénombrement 05-11-21 à 19:02

J'obtiens environ 1,59×10^20 donc c'est le bon résultat. Mais pourquoi divisé par 10!  ?

Posté par
carpediem
re : Dénombrement 05-11-21 à 19:18

parce que à la question 3b/  ce que tu écris est soumis à un ordre  : choisir deux lettres, puis deux lettres puis ... puis les deux dernières ...

mais vu ce que je t'ai cité c'est la même chose si tu commençais par les deux dernières lettres ou n'importe quel autre couple de lettres

donc tu as choisis 10 couples de lettres et l'ordre de ce choix n'est pas important donc il faut diviser par les 10! ordres possibles  ...

Posté par
Jam18
re : Dénombrement 05-11-21 à 19:51

Donc ça veut dire que ma réponse à la question 3b n'est pas bonne ?

Posté par
carpediem
re : Dénombrement 05-11-21 à 19:54

oui il faut diviser par 10! ...

Posté par
Jam18
re : Dénombrement 05-11-21 à 20:13

Donc le calcul si on recommence du début, ce n'est pas une combinaison ?

Posté par
carpediem
re : Dénombrement 05-11-21 à 20:35

non ton calcul en image est bon mais tiens compte d'un ordre du choix des paires ... et peut aboutir à un même résultat  pour différents ordres : il faut donc diviser les 10 choix de paires de lettres par les ordres de ces  paires

donc il suffit de diviser ton calcul par 10! ....

Posté par
flight
re : Dénombrement 05-11-21 à 20:44

salut

possibilités de câblage  de 20 lettres  2 à 2

C(20,2).C(18,2).....C(2,2) /10!   ce qu'a voulu t'expliquer carpi
ensuite tu multiplie ce resultat au nombre de facon de choisir 6 lettres parmi 26  et tu va trouver exactement ceci :
  le resultat est dans la page du lien

Posté par
Jam18
re : Dénombrement 05-11-21 à 20:54

Je comprends pas, pour la b j'ai utilisé la combinaison, une combinaison c'est sans ordre sans répétitions pourtant ?
On nous dit que l'ordre n'est pas important?

Posté par
Jam18
re : Dénombrement 05-11-21 à 20:57

flight
D'accord merci beaucoup je vais y aller jeter un coup d'œil pour comprendre

Posté par
carpediem
re : Dénombrement 05-11-21 à 21:57

oui il n'y a pas d'ordre pour choisir les deux lettres d'une paire ... mais il y a un ordre pour choisir les dix paires !!

Posté par
carpediem
re : Dénombrement 05-11-21 à 21:58

et choisir les paires (a, b) (c, d) (e, f) est la même chose que choisir les paires (c, d), (e, f) (a, b) ....



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