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Posté par j123456
Bonjour,
on pose et pour n supérieur ou égal à 1, on note
le nombre de permutations involutives d'un ensemble à n éléments.
Montrer que pour n supérieur ou égal à 2, .
On utilise un raisonnement combinatoire :
j'ai essayé de me représenter une permutation involutive de et je vois qu'il faut raisonner sur l'existence d'un point fixe ou non. Si on appelle f notre permutation involutive, on a forcément f(n) = n ou alors un deuxième cas où
. Le premier cas correspond au nombre de permutations involutives d'un ensemble à n-1 éléments mais je n'arrive pas "à justifier le deuxième". Comme cette situation "représente un ou exclusif (union disjointe)", il faut sommer ces 2 possibilités.
Je n'arrive pas à rendre ma démonstration rigoureuse et à justifier le deuxième terme de l'égalité demandée..
Merci de votre aide! 
Bonsoir,
pour le second cas.
Il y a un k unique dans [|1 ; n-1|] tel que f(n)=k ( et f(k)=n car f est involutive ).
Il faut donc choisir cet élément : il y a n-1 possibilités.
Et on a une involution sur les n-2 éléments restants.
Bonjour,
Citation :
je vois qu'il faut raisonner sur l'existence d'un point fixe ou non
Ce n'est pas tout à fait ça.
je vois qu'il faut raisonner sur l'existence d'un point fixe ou non
Je préfère travailler avec En = {a1, a2, ...., an}
Et m'intéresser à f(an) = ai
1er cas : i = n
Il y a An-1 permutations involutives de {a1, a2, ...., an-1}
2nd cas : i est un entier compris entre 1 et n-1.
On a alors f(ai) = an.
Il y a An-2 permutations de l'ensemble En privé de an et ai.
Je n'ai fait que détailler ce qu'a écrit verdurin.
Mais j'ajoute que dans le second cas, il peut y avoir des points fixes autres que an et ai.
Bonsoir,
Sylvieg @ 23-02-2022 à 18:10
Il y a An-2 permutations de l'ensemble En privé de an et ai.
Il y a An-2 permutations de l'ensemble En privé de an et ai.
Ne pas oublier permutations involutives. Et insister sur le fait qu'il y a
Bonsoir GBZM,
Effectivement, le mot "involutives" manquait.
Par contre j'ai bien précisé pour le second cas : "i est un entier compris entre 1 et n-1".
Je pense que j123456 sait compter de 1 à n-1