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Moyens de placer p4 à côté de p6 ou p1 à côté de p10
(p1,p10) = (r,r+1) si (p4,p6) en (1,2) avec r entre 3 et 9 (7 choix)
ou (p10,p1) = (r,r+1) si (p4,p6) en (1,2) avec r entre 3 et 9 (7 choix)
ou (p1,p10) = (r,r+1) si (p6,p4) en (1,2) avec r entre 3 et 9 (7 choix)
ou (p10,p1) = (r,r+1) si (p6,p4) en (1,2) avec r entre 3 et 9 (7 choix)
Soit 28 choix si (1,2) sont occupés par p4 et p6

Même raisonnement si (2,3), (3,4), ... (7,8) sont occupées par p4 et p6 mais avec r entre max(p4,p6)+1 et 9
Ca fait donc quatre fois .
Donc au total 28 + 4*27 = 108 mauvais choix.

La situation étant symétrique en (p1,p10) et (p4,p6), je dirais qu'on a (4 parmi 10) - 108 = 102 choix

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En tout : 10!
Dans le lot, il y a les combinaisons où p1 est immédiatement à droite de p8.
On considère p1 et p8 comme 2 frères siamois, il y a donc 9 personnes à disposer, et non 10, soit 9! dispositions.
Idem, 9! dispositions où p1 est immédiatement à gauche de p8
Soit 2x9! dispositions à retirer.
Idem, 2x9! dispositions où p4 et p6sont côte à côte.
10!-4x9! à ce niveau.

Mais les configurations où on a à la fois p1 à côté de p8 et P4 à côté de p6 ont été retirées 2 fois.
Ces configurations sont au nombre de 4x8!
10!-4x9!+4x8!=2338560

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Les 10 sans contrainte peuvent occuper   3628800 positions
par  couple 1;8   on laisse 8 !positions et pour 4;6 on laisse 6!
ceci à multiplier par 2  (8;1 et 6;4)
Cela devrait donner  82080 positions interdites.
soit
3546720  possibles.
Mais je ne suis pas très sûr