Bonjour,

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1*120 + 3*84 + 6*56 + 10*35 + 15*20 + 21*10 + 28*4 + 36*1 = 1716

Bonsoir,

autant le faire pour le entiers de 1 à n, ce n'est pas plus difficile :

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C(n,6) façons

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C(13,6)=1716

Bonsoir jandri est ce que C(n,6) traite le cas ou n est pair ?
par exemple si n = 8 on a  les cas

C(3,3).C(5,3)=10
C(4,3).C(4,3)=16

ce qui donne  un total de 26 et C(8,6)=28

un autre exemple  n = 10
C(3,3).C(7,3)=35
C(4,3).C(6,3) =80
C(5,3).C(5,3)=100

ce qui donne au total 215  mais  C(10,6)  donne  210


sauf erreur de ma part

..rectification , ma remarque n'etait pas utile , .... bravo à vous deux
1716 est effectivement la bonne valeur

Bonjour,

cette question me semble un peu trop facile mais elle m'a donné l'idée d'une autre question.

Parmi les entiers de 1 à n on choisit au hasard un premier groupe de a entiers distincts deux à deux puis on choisit un second groupe de b entiers distincts deux à deux parmi les entiers qui ne figurent pas dans le premier groupe (a et b non nuls et ).

1) Quelle est la probabilité que les entiers du premier groupe soient tous inférieurs à tous les entiers du second groupe ?

2) Quelle est la probabilité que les entiers de l'un des groupes soient tous inférieurs à tous les entiers de l'autre groupe ?

Bonjour

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La combinaison ayant le plus de chance de rencontrer des combinaisons inférieures est 11;12;13  qui en  possède 129
Celle qui n'en a aucune est 1;2;3.
J'ai fait toutes les combinaisons et j'en trouve 348.

Je viens de regarder les réponses.
Il se trouve qu'il n'y a que 286 tirages possibles  de 1;2;3 à 11;12;13
car les permutations ne servent à rien .
je trouve donc 1716 trop élevé  ..
Pour mémoire j'ai raisonné ainsi:
tirage  A= 6; 10;11   les B possibles doivent avoir 5 comme maximum  ce qui ne donne que (5;4;3 )  (5;4;2 )  (5;4;1) (4;3;2) (4;2;1) (3;2:1)
Si vous avez considéré que  5 ;8 ;9  par exemple était valable , je comprends mieux  mais alors tous les chiffres de B ne seront pas inférieurs à tous les chiffres de A.

Bonsoir jandri je trouve  0,05 pour la premiere question et environ 0,1 pour la seconde question

j'ai pris le cas de 13 entiers ....oups !! cela ne répond pas directement à la question que tu a posé , .... je me penche dessus

Bonsoir,

@flight
Tu as les bonnes valeurs dans le cas a=b=3 mais il y a une formue générale simple pour a et b quelconques.

@dpi

pour justifier ma réponse pour la premiere question , j'ai trouvé,  apres un bonne prise de tête :

P = C(j , a-1).C(n-j-1,b)  / (C(n , a).C(n-a , b))  , pour j compris entre  a-1 et n-b-1  

en posant  a= 3 , b=3  et n=13  , P =  C(j,2).C(12-j,3)  / C(13,3).C(10,3)  pour j compris  entre 2 et 9   ce qui donne  P = 1716/34320 = 0.05

apres je ne vois pas comment je pourrais simplifier la somme que j'ai obtenue

>jandri
oui,mais tu as compris l'esprit :
Et dans ce cas trouves-tu mon résultat de 348 convenable.

@flight
Ta somme peut se simplifier en utilisant une formule qui ressemble à la formule de Vandermonde :

ou si tu préfères.

Mais il y a une façon de faire qui donne directement le résultat sans passer par une somme.

@dpi
Ton raisonnement est bon mais tu oublies beaucoup de cas.
Par exemple si la plus grande combinaison est (11,12,13) il y a C(10,3)=120 possibilités pour la plus petite : de (1,2,3) à (8,9,10).
Si la plus grande combinaison débute par 10, il y a 3 possibilités (10,11,12), (10,11,13), (10,12,13) et il y a C(9,3)=84 possibilités pour la plus petite, de (1,2,3) à (7,8,9) : cela fait 3 x 84 = 252 possibilités.
On est déjà à 372 et il en reste beaucoup !

merci pour cette indication Jandri , je ne connaissais pas cette formule , mais à présent c'est chose faite !
avec ton indication en posant a=A-1 et n =N-1  dans ma somme , j'obtiens :

C(k,A-1).C(N-1-k,b)  pour k =A-1 à N-1-b  ce qui donne  C(N,A+b)  et donc la formule simplifié est  
P = a!b!/(a+b)!   , avec a=b =3  P = 0,05

et donc le resultat ne dépend plus de n

C'est exact, le résultat ne dépend pas de n et la méthode la plus directe pour calculer cette probabilité ne fait même pas intervenir n.

On peut généraliser. Parmi les entiers de 1 à n on choisit au hasard p groupes disjoints d'effectifs non nuls avec .

Quelle est la probabilité que les entiers du premier groupe soient tous inférieurs à tous les entiers du second groupe, que les entiers du second groupe soient tous inférieurs à tous les entiers du troisième groupe, etc... ?

Pour mémoire:
voici mon tableau avec g1>g2

Bonjour Jandri  , pour ta derniere question ..sans certitude

on cherche card( G₁ < G₂ G₂< G₃.....G_p-1< G_p)  en utilisant les resultats précédents cela ferait :
n1!n2!/(n1+n2)! *  n2!n3!/(n2+n3)! * n3!n4!/(n3+n4)! *........*n_p-1!n_p!/(n_p-1+n)!      

je n'ai donné que les cas favorables ...

@flight
Non, ce n'est pas bon.

Je pense avoir trouvé et effectivement plus simplement qu'une somme  , si je reprend mon exemple avec n =13 , lorsqu'on choisit 6 entiers disctints et qu'on les ordonnes  que l'ont forme deux groupes de 3 et bien il y a qu'une seule facon de faire soit C(13,6) facons  mais pour les cas possibles il y a C(13,3)*C(10,3)  facons de faire donc
P  = C(13,6)/C(13,3)*C(10,3)=1/20=0,05. du coup je me suis bien pris la tête pour rien avec une somme compliquée ...
avec tes donnés c'est identique mais cela ressemble à ca pour la proba recherchée :
P = C(n , n1+n2+..+np) / [ C(n,n1).C(n-n1,n2) .......C(np, np)]

j'arrive à une formule finale apres moulte simplifications  

P =( n_k!)(n- n_{i) !} / (( n_i)!*(n - n_i)!)  pour i compris entre1 et p

application p=2   soit deux groupes de tailles n1=3 et n2=3  
alors  P = 3!3! ( 13 - 6)!/ (6!*(13-6)!) = 3!3!7!/6!*7!= 3!*3!/6!= 36/720 = 0,05

ca devrait etre bon sauf erreur ....

Bonsoir flight,

ta formule générale pour la probabilité peut se simplifier par et elle devient :

Un raisonnement très simple permet de l'obtenir directement.