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dénombrement
Bonjour
je vous propose l'exercice suivant : .... un poil difficile celui là mais tout à fait faisable :
On considère un ensemble d'entiers {1,2,3,…,n} où n est un entier positif. On cherche à savoir de combien de façons on peut regrouper ces entiers sous les conditions suivantes :
Chaque groupe peut contenir des groupes de 2 éléments et des éléments isolés ou contenir que des groupes de 2 elements ou des elements seuls . ( donc pas de groupes contenant plus de deux elements)
Question :
Calculer le nombre de façons de regrouper les entiers de
{1,2,3,…,n} en paires et éléments isolés pour des valeurs de
n=4 ,n=5 , n=7.
Trouver une formule générale permettant de calculer ce nombre pour tout 𝑛.
Exemple :
Pour n=4 (les entiers {1,2,3,4}) :
Aucune paire (tous isolés) : (1) (2) (3) (4)--> 1 façon.
1 paire et 2 éléments isolés : (1,2) (3) (4) --> 6 façons
2 paires et aucun élément isolé : (1,2) ,(3,4) --> 3 façons
Le total est donc : 1+6+3 =10 façons.
Suite
Comme ma réponse est différente de celle de carpediem:vérifions pour n=5
*les entiers isolés: 12345 --->1
*une paire et autres isolés:
(1,2 ) 3 4 5
(1,3) 5 4 5
(1,4) 2 3 5
(1,5) 2 3 4
(2,3) 1 4 5
(2,4) 1 3 5
(2,5) 1 3 4
(3,4) 1 2 5
(3,5) 1 2 4
(4,5) 1 2 3 ---------->soit 10
* deux paires
(1,2) (3,4)
(1,2)(3,5)
(1,2)(4,5)
(1,3)(2,4)
(1,3)(2,5)
(1,3)(4,5)
(1,4)(2,3)
(1,4)(2,5)
(1,4)(3,5)
(1,5)(2,3)
(1,5)(2,4)
(1,5)(3,4)------->soit 12
pour n= 5 on trouve 1+10+12 = 23 dispositions
Bonjour
le formule de Carpediem n'est pas bonne si n =2 , alors m = 1
et (1/3).1.2.3 - (1/2).1.2 = 2-1 = 1 or les dispositions possibles devraient etre : (1) (2) ou (1,2) soit pour n =2 ; 2 cas possibles
effectivement j'ai mélangé différents comptages
posons m = E(n/2)
alors on peut composé de 0 à m paires et pour cela pour tout k paires je dois choisir 2k éléments parmi les n
Cliquez pour afficherenfin ... à voir ...
Bonjour,
c'est un problème bien connu, il y a une formule générale avec une somme :
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