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Niveau Maths sup
denombrement avec des ensembles
Posté par val07 (invité)
bonjour j'ai besoinde votre precieuse aide
alors,on a un ensemble E de cardinal n
A etB appartienne a P(E)!qu'es-ce que c'est P(E)?
on me demande en combien de façons differentes je peux choisir un couple(A,B)!je ne comprends pas comment faire vu que je ne sait pas ce que represente A dans l'ensemble E et pareil pour B!je me demande si il faut calculer avec les factorielles car j'ai essayé mais je n'est pas trouvé(mais je pense mettre trompée dans le calcul)!
on me demande aussi combien de couple(A,B) existe pour que l'on ait AUB=E!
j'ai toujours le même problème c'est à dire la definition de l'ensemble et de ses deux parties A et B!comment puis-je savoir à quoi correspond A et B et l'ensemble E?
merci de me repondre parcque je suis desespérée je ne comprend vraiment rien 
Salut,
normalement tes réposnes devraient être dans ton cours...
Pour info, P(E) est l'ensemble des parties de E.
P(E) est l'ensemble des parties de E.
Si A et B appartiennent à P(E) cela signifie que A et B sont deux parties de E.
Un petit rappel : il y a 2n parties dans un ensemble à n éléments.
A toi de jouer pour la suite...
Posté par val07 (invité)re : denombrement avec des ensembles
merci beaucoup pour l'aide!j'ai trouvais la réponse a la première question grâce a votre aide!je ne me souvenais plus qu'il y avait 2^n parties dans un ensemble à n élément!
Pour AUB=E j'ai pennsé à dire que A=n élément et donc que B=k-n élément si il y'a p élément dans E mais le problème est que comme je doit faire l'union il n'y a pas forcement n et k-n elements.je n'arrive pas à représenter l'union sous forme de calcul par rapport aux élèments de ces deux sous parties.
Si vous pouviez me donné juste une petite piste pour m'éclairer se serait vraiment gentil.merci d'avance
Posté par val07 (invité)re : denombrement avec des ensembles
Le AUB=E me bloque vraiment je ne sais vraiment pas comment faire merci d'avance de m'aider un petit peu
Posté par Babou14 (invité)re : denombrement avec des ensembles
Soit n le cardinal de E.
On se demande combien de façons il y a pour choisir A et B tels que A
B = E
Calculons d'abord le nombre de façons de choisir B si on a choisi A de cardinal k. On sait tous qu'il y a Cnk façons de choisir un tel A.
Comme on doit obligatoirement inclure dans B le complémentaire de A (pour que AUB=E), choisir B revient exactement à choisir une partie de A, c'est à dire qu'il y a 2k choix.
Ainsi, si on note U={A,B 
P(E) | AB=E}, on a:
Card U = 
k=0...n Cnk 2k
On reconnait là le développement de (1+2)n, et on en déduit que
Card U=3n
La réponse cherchée est 3n
Remarque: On peut aussi construire une bijection entre U et l'ensemble des fonctions de E dans un ensemble à trois éléments, par exemple {1,2,3}, de la façon suivante:
Pour toute écriture de E sous la forme AB, j'associe la fonction qui à x associe 1 si x est dans A seulement, 2 si x est dans B seulement, et 3 si x est dans A et B à la fois. C'est clairement une bijection.