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Dénombrement cartes
Bonsoir,
Je cherche à répondre à la question :
On tire simultanément 5 cartes dans un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité d'avoir en main au moins 2 cartes de même valeur ?
Selon moi, il s'agit d'une probabilité uniforme. Je note A : avoir en main au moins 2 cartes de même valeur.
P(A) = card(A) / card(univers)
Avec card(univers) = C525
J'ai essayé 2 "méthodes" :
Le complémentaire de A est "avoir 5 cartes de valeur différentes", il existe C13545 tirages (choix des 5 valeurs puis des couleurs pour chacune)
Donc card(A) = card(Univers) - card(complémentaire de A) = 1281072
Ou :
- Nombre de tirages avec exactement 2 cartes de même valeurs : 13*(C42)*12*4*11*4*10*4/(3!) (choix de la valeur de la paire, de la couleur de la paire puis des 3 autres cartes de valeurs différentes)
- Nombre de tirages avec exactement 3 cartes de même valeurs : 13*(C43)*12*4*11*4/(2!) (choix de la valeur du triplet de la couleur de la paire puis des 2 autres cartes de valeurs différentes)
- Nombre de tirages avec exactement 4 cartes de même valeurs : 13*12*4
Mais la somme fait 1153776
Qu'est ce qui ne va pas ?
Vous remerciant par avance
Et pourquoi ces divisions par 3! et 2! ?
Les cas une paire ne va pas :
On choisit la paire puis 3 cartes de valeurs différentes.
Pour choisir les cartes de valeurs différentes, choisir 3 valeurs parmi 12 puis la couleur pour chacune des trois.
Une remarque : il ne s'agit pas d'une probabilité uniforme.
L'adjectif uniforme s'applique à une loi de probabilité.
Ici, on fait une hypothèse d'équiprobabilité sans pouvoir la justifier puisqu'aucune expression du genre "au hasard " n'est présente dans l'énoncé.
En employant les termes du poker, dans le 2ème calcul, tu as oublié les doubles-paires et les fulls.
Tu n'as compté que les paires, les brelans et les carrés.
Finalement, avec tes divisions par 3! et 2!, ça revient au même pour le cas une paire et pour le cas un brelan.
Les divisions par 3! ou 2! sont correctes.
Plutôt qu'écrire 12*11*10/3!, on aurait pu écrire C123, mais c'est pareil.
Tu as aussi oublié le cas une paire et un brelan, c'est à dire 3 cartes de même hauteur avec 2 cartes de même hauteur.
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