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dénombrement(coefficients binomiaux)
bonjour,
alors voilà, j'ai trouvé un exercice surlequel je bloque depuis un bon bout de temps.
on nous demande de prouver l'identité suivante:
(cᵤ k)²= c₂ᵤu où k varie de o à u
et voilà ce que j'ai fait:
on (1+x)2u = c₂ᵤk xk (où k varie de 0 à 2u)
puisque (1+x)2u = (1+x)u (1+x)u
alors (cᵤk' xk')²=c₂ᵤk xk (où k ' varie de 0 à 2u et k' de 0 a u)
donc 
cᵤ2k' xu =c₂ᵤk xk (car k+k'=u)
et là, je ne sais plus trop quoi faire..
ps: je ne sais si l'écriture est claire avec tous ses symboles!
tu es sur une bonne piste :
est le coefficient de xu dans le développement de (1+x)2u
par ailleurs, le terme en xu dans le produit des développements de (1+x)u(1+x)u se retrouve à chaque fois qu'on multiplie un terme en xk avec un terme en xu-k pour k variant de 0 à u ...
à toi d'identifier les deux façons
alors, je n'ai pas tout bien compris, mais on a (1+x)u(1+x)u = (Cuk' xk' )(Cuk" xk" ) avec k'et k"variant de 0 à u
on a k'+k"=u donc (1+x)u(1+x)u = Cuk' x Cuu-k' x Xu
oui, pour k' variant de 0 à u
et une petite propriété des combinaison te permet d'obtenir le résultat que tu veux démontrer.
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