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Niveau Maths sup
Dénombrement / Combinaison linéaire?
Posté par lnde3
Bonjour,
Je bloque sur la justification d'une question d'un de mes exercice :
Un élève a trois notes et a une moyenne de 10, combien y a-t-il de possibilités différentes?
J'ai listé toutes les possibilités et j'en ai déduis la formule suivante :
Mais je ne sais pas comment démontrer cette formule.
Merci de votre aide,
ln(3)
Je ne sais pas si ta formule est bonne. J'ai même tendance à dire qu'il y a quelques abus de notation, mais admettons.
Explique comment tu arrives à ce résultat. Soit ton explication est convaincante, et ça tient le rôle d'une démonstration. Soit c'est une explication pas convaincante, et ça veut dire que ton calcul est faux, ou qu'il faut mieux expliquer.
En effet, j'ai mal noté ma formule, je ne maîtrise par encore le latex ):
+
J'ai obtenu cette formule en listant les 331 possibilités, en fixant 1ère note = 0; 2ème = 10; 3ème = 20
puis 1ère =0; 2ème = 11; 3ème = 19
jusqu'à 1ère = 0; 2ème = 20; 3ème = 10
Soit 11 possibilités
Puis 1ère = 1; 2ème = 9; 3ème = 20
et ainsi de suite soit 12 possibilités
. . .
mais c'est très long et un peu bancale comme justification
Ton explication ne m'a pas convaincu.
Dans ton explication, tu dis :
si la 1ère note vaut 0, il y a 11 façons d'arriver à un total de 30 (ok)
si la 1ère note vaut 1, il y a 11 façons d'arriver à un total de 30 (ok)
Et j'imagine que tu continues comme ça jusqu'à 20
Tu es en train de nous 'vendre' une formule qui sera de ce type :
...
Et au final, tu n'as pas une somme, mais 2, et tes sommes commencent à i=11, et pas à i=0.
La formule que tu présentes ne ressemble pas vraiment à tes explications.
Bonjour,
Je suis un peu plus convaincue 
Les deux sommes correspondent à deux cas :
1) La première note va de 0 à 10
2) La première note va de 11 à 12
Plutôt que de parler de première, seconde ou troisième note, je propose de les "noter" a, b et c.
1) Si a est compris entre 0 et 10, alors b peut prendre toutes les valeurs entre 10-a et 20.
2) Si a est compris entre 11 et 20, alors b peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 30-a.
Sauf erreur.
Sylvieg @ 16-01-2022 à 08:43
Bonjour,
Plutôt que de parler de première, seconde ou troisième note, je propose de les "noter" a, b et c.
1) Si a est compris entre 0 et 10, alors b peut prendre toutes les valeurs entre 10-a et 20.
2) Si a est compris entre 11 et 20, alors b peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 30-a.
Bonjour,
Plutôt que de parler de première, seconde ou troisième note, je propose de les "noter" a, b et c.
1) Si a est compris entre 0 et 10, alors b peut prendre toutes les valeurs entre 10-a et 20.
2) Si a est compris entre 11 et 20, alors b peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 30-a.
En effet, c'est bien plus facile à comprendre comme ça, merci beaucoup.
Soit (a;b;c) 
On cherche tous les triplets (a;b;c) tels que soit
Distinguons 2 cas:
1) Si a , alors b peut prendre toutes les valeurs entre 10-a et 20 et c prend alors la valeur de 30-(a+b)
2) Si a alors b peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 30-a et c prend la valeur de 30-(a+b)
Dans le cas 1): Le nombre de possibilité pour a = 0 est 11; il est incrémenté de 1 pour chaque incrémentation de a.
Dans le cas 2): Le nombre de possibilité pour a = 11 est 20; il est décrémenté de 1 pour chaque incrémentation de a.
On en déduit ainsi la formule :
nombre de possibilité = = 331 possibilités
Bonjour,
Une autre façon de voir les choses : l'élève a un total de 30 points. Ces trente points se répartissent dans les trois notes. On compte donc le nombre de façons de ranger trente chaussettes indistinguables dans trois tiroirs. C'est un grand classique de la combinatoire.
Petti (gros) bémol sur ce que je viens d'écrire : chaque tiroir ne peut pas contenir plus de 20 chaussettes ! On n'est plus dans le cas de figure classique, et on revient au décompte précédent.
Salut
On peut partir de l'idée de GBZM et retirer au resultat tout "l'excédant "
sans tenir compte du fait que chaque note est plafonnée à 20 : C(30+2,2)=C(32,2)=496 cas .
on retire ensuite tout ce qui ne rentre pas dans les contraintes soit
3*
C(k,1)) pour k compris entre 1 et 10 , soit pour cette somme 3*10*11/2 = 165 cas
et 496 - 165 = 331 cas possibles
Je vais chipoter. Ou plutôt proposer 2 autres rédactions :
Dans l'explication, Inde3 détaille : quand est entre 0 et 10 ... puis quand
est entre 11 et 20 ...
solutions possibles pour chaque valeur de
pour le 1er groupe,
solutions possibles pour le 2ème.
Ok, très bien.
Dans la formule finale, je verrais bien :
L'explication s'appuie sur a ... je préfère voir a dans la formule.
L'autre façon de voir, c'est de détailler les cas avec a entre 0 et 9, traiter le cas a =10 , puis régler rapidement le situation pour a entre 11 et 20 en parlant de symétries.
Si a =11, le nombre de façons de choisir 2 notes b et c pour arriver à 30 , c'est le même qu quand a=9. Qu'on parte avec 1 point de bonus ou 1 point de malus, le nombre de solutions est le même.
Pareil : f(12)=f(8) ... f(20)=f(0)
Mais effectivement, très bel effort de Inde3 pour bien rédiger, proprement, correctement.