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Dénombrement... de nombres.
Bonjour,
Je bute sur une petite question maths à laquelle a eu droit mon cousin et qui a eu trèèèès envie de me la partager :
Parmi les nombres de 0 à 1000, combien y a-t-il de nombres qui s'écrivent avec au moins deux chiffres identiques ?
(par exemple, 112, 393, 777 et 600 s'écrivent avec au moins deux chiffres identiques, mais pas 102, ni 398, 789 ou 601)
Bien sûr, les nombres inférieurs à 100 ne s'écrivent pas avec un ou deux 0 devant ! 90 s'écrit 90 et non pas 090 et 7 n'est pas 07 et encore moins 007 !
J'essaie avec les coefficients binomiaux mais je ne vois même pas quelles valeurs attribuer à k et à n dans les coefficients binomiaux...
Merci d'avance !
Ah oui, pas bête du tout x)
Ça me donne 261 nombres qui s'écrivent avec des nombres tous différents donc 739 qui s'écrivent avec des chiffres au moins répétés deux fois.
Pourquoi ?
- De 0 à 100 :
- de 0 à 9, inutile d'expliquer ===> 10 nombre s'écrivant avec un seul nombre donc pas de répétition
- Dans chacune des neuf dizaines : 1 nombre où chiffre des dizaines = chiffre des unités donc 9*9=81
Soit 91 nombres inférieurs à 100 qui s'écrivent avec des chiffres tous différents
- Dans chaque centaine :
- dans chacune des dizaines, il y a le nombre où chiffre des centaines = chiffre des unités et le nombre où chiffre des dizaines = chiffre des unités, donc 8 nombres qui s'écrivent avec des chiffres tous différents
- on a la dizaine où nombre des centaines = nombre des dizaines : on élimine tous ces nombres
Ce qui donne pour chaque centaine : 9*8=72 nombres qui s'écrivent avec des chiffres tous différents et comme on a 9 centaines : 9*72=648 entre 100 et 1000 qui s'écrivent avec des chiffres tous différents
Soit à la fin 648+91=739 nombres qui s'écrivent avec des chiffres tous différents, donc 261 qui ont des chiffres répétés au moins 2 fois.
Dites moi que j'ai bon... !
Comptage plus simple :
de 0 à 9 : 10 possibilités
De 10 à 99 : Choix de la dizaine : 9 (de 1 à 9) , choix de l'unité : 9 (de 0 à 9 sauf la dizaine choisie) donc 9*9 = 81 possibilités
De 100 à 999 : 9 possibilités pour la centaine, 9 pour la dizaine et 8 pour l'unité , soit 9*9*8 = 648 possibilités.
Donc au total 10 + 81 + 648 = 739 nombres qui s'écrivent avec des chiffres tous différents : on est d'accord !
MAIS :
De 0 à 1000 , il y a 1001 nombres, reste donc 262 qui ont des chiffres répétés au moins 2 fois !
salut
une autre facon de faire
de 0 à 99 : 9 facons d'avoir 2 chiffres identiques (0 facon d'avoir 3 chiffres identiques dans ce cas)
de 100 à 999 pour les nombres ayant deux chiffres identiques ( de la forme XXY ) il existe C10,2*2*3 = 270 combin.
auxquelles on retire ceux commencant par 0 qui sont de la forme 0[0X] et 0[XX] soit à retirer 2*9 + 9 = 27 combinaisons
soit 270 - 27 = 243 combinaisons . pour les nombres à 3 chiffres ( 111 ,222,...,999) il existe 9
combinaisons et finalement 1000 qui compte aussi 3 chiffres identiques soit donc en tout 9 + 243 + 9 + 1 = 262
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