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Dénombrement et cardinal
Bonjour,
J'aurais besoin que quelqu'un m'explique la différence entre la formule n! et p^n pour le dénombrement et dans quels cas les utiliser.
Voici un exercice que j'ai essayé de faire mais j'ai du mal à comprendre...
Soit E un ensemble à n éléments. On considère X = {(A, B) ∈ P(E)² |A ∪ B = E} et on cherche à déterminer son cardinal.
1. Soit A ⊂ E un ensemble fixé. Déterminer le nombre d'ensembles B ⊂ E tel que A∪B = E.
2. Calculer S = somme (de k=0 à n) de 1/(k+1) (k parmi n) 3^(n-k).
3. En déduire card(X).
Voici mes réponses :
1. n! mais je ne sais pas dire pourquoi.
2. 3^n (en calculant la somme grâce au binôme de Newton)
3. Il me semble que c'est aussi 3^n car il y a 3 possibilités :
-- x ∈ A et x ∈ B
-- x ∈ A et x ∉ B
-- x ∉ A et x ∈ B
J'aurais besoin d'un petit éclaircissement.
Merci d'avance !
c'est la même chose qu'ici 
Cardinal d'un ensemble
il suffit de finir cet exo pour faire celui-là ...
Je repars de zéro sur cet exercice, car je n'ai pas trouvé de solution ailleurs sur le forum.
1. Soit A ⊂ E un ensemble fixé. Déterminer le nombre d'ensembles B ⊂ E tel que A∪B = E.
Ma réponse :
A est fixé, mais pas B.
Si on prend l'exemple de n=3 avec A contenant 2 éléments, B peut contenir 0, 1, 2 ou 3 éléments.
Je trouve alors 13 solutions :
13 ensembles B ⊂ E tel que A∪B = E.
Est-ce la bonne réponse ?
Merci à l'avance pour votre aide.
Bonsoir,
pour reprendre ton exemple.
Soit E={x;y;z} et A={x;y} ( tu dis que A est fixé ).
L'ensemble B contient obligatoirement l'élément z.
On peut avoir
B={z} ou B={x;z} ou B={y;z} ou B={x;y;z}
et c'est tout.
OK, c'est très clair, merci pour l'explication.
Donc pour cet exemple, le nombre d'ensembles possibles de B est 4.
Oui.
Ensuite il faut calculer combien il y a de couples (A,B) vérifiant A
B=E et cardinal(A)=2.
En principe on trouve 12.
Enfin il faut essayer de généraliser ce calcul.
D'accord, du coup en faisant plusieurs essais je trouve qu'il y a 2^card(A) ensembles B ⊂ E tel que A∪B = E. Mais y a-t-il un moyen d'expliquer cela ?
Oui.
Un ensemble B tel que AB=E est l'union disjointe du complémentaire de A dans E et d'une partie de A.
Et le nombre de parties de A est 2k.
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