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dénombrement et paires de chaussettes
Bonjour,
Je voudrais vous soumettre un problème. Il me vient d'un cas concret, mais je pense qu'il est intéressant d'un point de vue théorique. Il s'agit de l'appariement de chaussettes par paire. Ce qui sort généralement d'une machine à laver est un tas de chaussettes en vrac. Pour les regrouper par paire et les plier avant de les ranger, on choisit la technique suivante.
On prend les chaussettes une par une (tirage aléatoire).
• Si c'est la première chaussette d'une paire, on la pose sur la table en attendant le seconde. Il y a donc une place occupée en plus sur la table.
• Si c'est la seconde chaussette, la première est déjà posée sur la table. On les regroupe, on les plie et on range la paire sur le côté en pile ordonnée. Il y a donc une place occupée de moins sur la table.
La question est de savoir, si on dispose de N paires de chaussettes (donc 2N chaussettes), quel est le nombre moyen de places occupées sur la table. Ou mieux, quelle est la probabilité d'avoir au maximum M places occupées sur la table (M<=N).
L'idéal, quand on n'a pas beaucoup de place chez soi est que M=1. Mais la probabilité est faible.
Je n'ai pas la réponse à ce problème. Si on appelle P(i) la probabilité d'atteindre i places occupées, au maximum, au court de tout le processus. J'ai trouvé P(1) et P(N), mais pas le cas général. Le problème n'a peut-être pas de solution simple.
Pour préciser le problème, on considère que toutes les paires de chaussettes sont différentes. Mais par contre les deux exemplaires d'une paire sont parfaitement identiques.
Je vous remercie pour votre aide.
Si tu veux avoir M=1, tu mets une seule paire de chaussettes dans la machine 
Il faut que tu reformules encore ton besoin.
Si tu mets 2 paires de chaussettes dans la machine. N=2
On prend une chaussette, ok.
On prend une 2ème chaussette, on a 1 chance sur 3 de tomber sur la jumelle de celle qui est sur la table, et 2 chances sur 3 de mal tomber.
Et donc P(M=2)=2/3 et P(M=1)=1/3
Mbarre= 5/3 : je pense que c'est ce Mbarre qui t'intéresse.
Pour N plus élevé, disons N=10, tu as un risque d'avoir à un moment 10 chaussettes sur la table , mais ce risque est faible.
Ce qui t'intéresse, c'est à la fois la proba d'avoir à un moment 10 chaussettes sur la table, mais aussi la proba d'avoir au pire moment 9 chaussettes sur la table... et au final, la moyenne de ces nombres.
Amusant.
Pas le temps là, mais chaque étape intermédiaire peut se calculer.
Et la moyenne peut donc se calculer.
Est-ce qu'au final , on va tomber sur une formule simple ? je ne crois pas.
Un arbre peut t'aider à bâtir ces calculs.
Bon, après quelques réflexions, les calculs ont l'air bien compliqués.
Les 2 cas extrêmes (proba de systématiquement tirer la bonne chaussette pour compléter la paire, et jamais avoir plus d'une chaussette sur la table, ou scénario catastrophe, tirer N chaussettes sans faire la moindre paire, puis ensuite tirer les N autres paires), ces 2 cas là sont simples, on peut facilement calculer leurs probabilités.
Mais les autres cas, c'est galère.
P(M=1) : facile
P(M=N) : facile
P(M=i) pour i entre 2 et N-1 : galère
Donc 2 autres pistes, calculer P(M>=i) ou P(M<=i).
Si on trouve la formule générale pour un de ces 2 calculs, alors il y a des moyens d'en déduire les P(M=i) et donc tout solutionner.
P(M=i) = P(M>=i)-P(M>=i+1) tout simplement.
A suivre, peut-être.
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