Tu prends le problème par le mauvais bout. Tu connais 2 'recettes' et tu tiens à utiliser l'une de ces 2 recettes.
Ces 2 recettes servent pour les exercices simplistes. Et elles servent si tu réussis à décomposer ton problème en tout petits problèmes simplistes.
Mais c'est tout.
Il y a une autre recette qui fonctionne beaucoup plus souvent, c'est de dessiner un arbre.
Dès qu'on a un truc avec une vague chronologie (je fais ça, puis ça, puis ça), un arbre permet de modéliser ça.
L'arbre ne donnera pas la formule finale. Ici, cette formule finale risque d'être compliquée..

On peut aussi regarder le problème par la fin. Au moment de tirer une boule dans la dernière urne, on a une urne avec y+1 boules, et x ou x+1 boules blanches.
La solution est donc un nombre entre x/(x+y+1) et (x+1)/(x+y+1) ... mais bof,  on n'en sait guère plus.

Un arbre. Il n'y a que ça.

Bonjour,

si est la probabilité demandée tu calcules d'abord et .

Cela te fait deviner le résultat pour et tu le démontres ensuite par récurrence.

Merci pour vos réponse. Pour tout vous dire, j'ai essayé de faire un arbre en premier pour éclaircir le problème. Mais je me retrouve avec n chemins de probabilités composées du type

Et il y a tellement d'autres possibilités différentes, toutes associées à des probabilités qui diffèrent elles même que ça me paraît obscur

Pour la récurrence, je ne vois pas du tout quel prédicat je pourrais poser, vu que je calcule uniquement p1 et p2 et que j'ai aucune idée de la formule générale associée

Déjà tu pars mal puisque tu n'as pas remarqué que x+y est une constante... variable selon les urnes
Il faut commencer par la fin!

Dans la toute dernière urne, il y aura boules, où est le nombre de boules initiaement dans la dernière urne.
Il y aura
- soit boules blanches et boules noires soit une proba de
- soit boules blanches et boules noires soit une proba de

Autrement dit, la proba de tirer une boule blanche est
où est l'évènement "tirer une boule blanche dans l'urne n-1 pour la mettre dans l'urne n"

Coquille c'est bien-sûr

Ah oui, ayant calculé les premiers termes p1 p2 p3 proposé par jandri, je commence à saisir la logique du raisonnement par récurrence, et ulmiere si je comprends bien le que tu as écris correspond donc au pn proposé par jandri ?

Oui mais Ulmiere acompliqué unpeu en notant quelque chose qui ne dépend pas de .

Avec mes notations le calcul de en fonction de se fait très simplement en tenant compte du ième tirage.

Je pense que jandri a considéré (ça semble raisonnable) qu'il y avait un nombre constant de boules dans chaque urne (M constant) et une répartition initiale (x et y) constante. Ca fait donc une récurrence arithméticogéométrique qu'il te proposait de résoudre en faisant une conjecture en regardant les premières valeurs et en la montrant par récurrence.

Les p_n que j'ai mis sous l'accolade ne sont pas ceux dont parle jandri. Lui, parle des P(A_n) de mon pavé.

Ahh ok ça marche. J'ai trouvé






(non sans peine )
C'est donc bien parti pour une récurrence

Oui, c'est bien.

Ok la récurrence semble bien fonctionner.
Merci à tous pour votre aide

Par curiosité, on trouve quoi au final ?

Parce que les 3 équations que tu as écrites à 16h51 sont correctes, mais ce n'est que le tout début des calculs, et pas la fin.

Hier j'ai fait le raisonnement par récurrence et ai trouvé que

salut

il semble raisonnable de factoriser par

Oui, j'ai d'ailleurs fait ce travail de factorisation hier et ma réposnse finale était

D'ailleurs je me demandais si c'était bien le résultat demandé : je veux dire on nous demande un évènement, mais est-ce que on a le droit de l'exprimer en fonction de l'évènement qui le précède ?

ben il faut tout de même répondre à la question posée ...

oui c'est bien ce que je me disais
Mais du coup je ne vois pas bien ce qu'apporte la récurrence, elle n'apporte strictement rien

Oui mais en l'occurence ma récurrence ne porte pas sur n, je n'ai que l et dans la récurrence

Luxio
tu confonds "relation de récurrence" et "démonstration par récurrence".

Ta relation entre et est une relation de récurrence mais tu ne l'as évidemment pas démontrée par récurrence.

Avec cette relation on peut démontrer par récurrence la formule qui exprime à condition d'avoir deviné cette formule ! Elle est évidente quand on a calculé , et .