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Niveau Maths sup
Dénombrements
Posté par Wilfred1995
Bonjour à tous.
Soit
et
trois ensembles finis.
1- on suppose que ces trois ensembles sont deux à deux disjoints.
Exprimer en fonction de
et
On a
2- on suppose
et
quelconques, exprimer
en fonction de
et
On a
3- soit
ensembles finis avec
Donner l'expression du que je ne m'ens sort pas du tout. Merci
Bonjour,
Ta formule pour 2- est fausse.
Regarde avec A = {a;b;c;i} B = {c:d:e:f} C = {f;g;h;i} .
Essaye de trouver une formule symétrique en A, B, C ; pour pouvoir la généraliser dans 3-.
Sauf erreur, quand tu as pris les intersections des ensembles pris deux à deux, tu as aussi traité l'intersection des trois.
Oups, j'ai écrit une bêtise.
L'intersection des 3, tu l'as traitée 3 fois. A ,à fin, c'est donc plutôt:
+2card (A
BC)
A vérifier quand même.
@Wilfred1995,
Je n'avais pas vu que manquait dans l'énoncé
@sanantonio312,
Dans , les éléments de
sont comptés 3 fois avec
puis enlevés 3 fois avec
.
sanantonio312 @ 15-03-2018 à 09:33
Oups, j'ai écrit une bêtise.
L'intersection des 3, tu l'as traitée 3 fois. A ,à fin, c'est donc plutôt:
+2card (ABC)
A vérifier quand même.
Oups, j'ai écrit une bêtise.
L'intersection des 3, tu l'as traitée 3 fois. A ,à fin, c'est donc plutôt:
+2card (A
BC)
A vérifier quand même.
Merde comment même avec la figure je ne vois pas où
Bonjour Wilfred1995.
Ecrit simplement que et revient au cas de deux ensembles.
D'ailleurs, pour passer au cas général et montrer la formule du crible de Poincaré, il faudra faire comme ça.
Bonjour jsvdb et veleda,
Oui, se ramener à 2 ensembles est la bonne méthode pour démontrer.
Il faut connaître quelques propriétés de et 
.
Je propose une manière de réussir à "voir" avec la figure. En utilisant une partition de ABC.
g = Card(ABC)
f = Card(BC) - Card(ABC) = Card(BC) - g
e = Card(AB) - Card(ABC) = Card(AB) - g
d = Card(AC) - Card(ABC) = Card(AC) - g
c = Card(C) - (d+f+g) b = Card(B) - (e+f+g) a = Card(A) - (e+d+g)
Il reste à calculer a+b+c+d+e+f+g .
Oui, c'est excellent !
Mais dès qu'on passe à plus de trois patates, il faut faire un dessin très précis pour avoir toutes les intersections possibles. Ça devient chaud les patates ! et il faut passer en raisonnement pur.
Le best-of c'est de faire pour 4 :
Normalement, à ce stade, on voit bien l'alternance des signes et la formule générale s'en déduit.
Application : calculer le nombre de dérangements (ie une permutation sans point fixe) d'un ensemble fini.
Sylvieg @ 15-03-2018 à 10:54
Je propose une manière de réussir à "voir" avec la figure. En utilisant une partition de ABC.
g = Card(ABC)
f = Card(BC) - Card(ABC) = Card(BC) - g
e = Card(AB) - Card(ABC) = Card(AB) - g
d = Card(AC) - Card(ABC) = Card(AC) - g
c = Card(C) - (d+f+g) b = Card(B) - (e+f+g) a = Card(A) - (e+d+g)
Il reste à calculer a+b+c+d+e+f+g .
Je propose une manière de réussir à "voir" avec la figure. En utilisant une partition de A
BC.
g = Card(A
BC)
f = Card(B
C) - Card(ABC) = Card(BC) - g
e = Card(A
B) - Card(ABC) = Card(AB) - g
d = Card(A
C) - Card(ABC) = Card(AC) - g
c = Card(C) - (d+f+g) b = Card(B) - (e+f+g) a = Card(A) - (e+d+g)
Il reste à calculer a+b+c+d+e+f+g .
Je ne sais comment te remercier et vous remeciez vous êtes merveilleux ! Merci encore
A partir de cela je vais me concentrer sur le 3- et poster ma réponse !
jsvdb @ 15-03-2018 à 11:13
Oui, c'est excellent !
Mais dès qu'on passe à plus de trois patates, il faut faire un dessin très précis pour avoir toutes les intersections possibles. Ça devient chaud les patates ! et il faut passer en raisonnement pur.
Le best-of c'est de faire pour 4 : = \sharp (((A\cup B) \cup C)\cup D))
Normalement, à ce stade, on voit bien l'alternance des signes et la formule générale s'en déduit.
Application : calculer le nombre de dérangements (ie une permutation sans point fixe) d'un ensemble fini.
Oui, c'est excellent !
Mais dès qu'on passe à plus de trois patates, il faut faire un dessin très précis pour avoir toutes les intersections possibles. Ça devient chaud les patates ! et il faut passer en raisonnement pur.
Le best-of c'est de faire pour 4 :
Normalement, à ce stade, on voit bien l'alternance des signes et la formule générale s'en déduit.
Application : calculer le nombre de dérangements (ie une permutation sans point fixe) d'un ensemble fini.
C'est vraiment excellent
jsvdb @ 15-03-2018 à 12:31
Oh ! Ça risque de faire pas mal de cas ...
Oh ! Ça risque de faire pas mal de cas ...
ce n'est pas seulement deux cas??jsvdb @ 15-03-2018 à 13:15
si n = 2, oui, mais si n est plus grand que deux ... bon courage ! Passer par là me semble inutile.
si n = 2, oui, mais si n est plus grand que deux ... bon courage ! Passer par là me semble inutile.
Et quel méthode est appropriée ? ?
jsvdb @ 15-03-2018 à 11:13
Le best-of c'est de faire pour 4 :
Le best-of c'est de faire pour 4 :
Puis conjecturer une formule générale qu'on démontrera.
flight @ 15-03-2018 à 17:34
salut
c'est une demonstration de la formule du crible..
salut
c'est une demonstration de la formule du crible..
Oui flight jusqu'à là je ne m'ens sort pas au rang
salut
posons E = A U B U C
dans E il y a les éléments de A
dans E il y a les éléments de B
dans E il y a les éléments de C
dans A il y a les éléments de B ou les éléments de C donc les éléments de B C
dans B il y a les éléments de A ou les éléments de C donc les éléments de C A
dans C il y a les éléments de A ou les éléments de B donc les éléments de A B
je compte donc deux fois les éléments de A B, deux fois les élements de B C et deux fois les éléments de C A
je compte donc aussi trois fois les éléments de A B C (ils sont dans A, ils sont dans B et ils sont dans C)
je compte donc aussi trois fois les éléments de A B C (ils sont dans A B, ils sont dans B C et ils sont dans C A)
mais comme je dois décompter ceux que j'ai compté deux fois alors je décompte trois fois ceux que j'ai compté trois fois : les éléments de A B C ... donc je ne les ai + comptés donc je dois les compter à nouveau une fois ...
Caperdium oui j'ai démontré le rang 3 le problème c'est comment sortir la formule générale. Le professeur ayant donner cela comme devoir en classe mais personne n'a pu trouver avec demonstration. Il nous a donné donc la formule:
en nous disant d'aller démontrer, le rang me depasse.
en posant
...
il suffit alors de prendre le cardinal et d'appliquer le résultat pour n = n (hypothèse de récurrence) et pour n = 2 (initialisation) ...