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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Posté par
Kurenay
23-06-18 à 20:22

Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle de paramètre 1.
On note T= X/Y
1) Montrer que T est définie presque sûrement
Le point (Y=0) a pour mesure P(Y=0)=0 car Y est une var de loi exp donc continue.
Donc T est définie presque sûrement

2)Calculer la loi du couple (T,Y). En déduire la loi de T  
On pose S=(T,Y)
Soit U=\R^+_* \times \R^+_* un ouvert de \R^2
On utilise le théorème de changement de var:

g_S(t,v)=ve^{-v(t+1)} \mathds{1}_{(R^+_*)^2}(t,v)

Loi de T:
S continue donc T est continue de densité:
f_T(t)=\frac{1}{(t+1)^2}

3)La variable aléatoire T est-elle intégrable ?

T continue et positive donc intégrable.

4)Soit U=min(X,Y) et V=max(X,Y). Calculer E[h(U,V)] pour toute fonction borélienne h: \R^2 \rightarrow [0;+\infty[. Les variables aléatoires U et V sont-elles indépendantes?

C'est ici que je bloque. J'ai trouvé comme formuleE[h(U,V)]= \int h(u,v)P_{(U,V)}dudv Mais je ne sais pas comment l'utiliser.

5)Soit Z=U/V; Calculer la loi de Z. La variable aléatoire Z est-elle intégrable?

Merci d'avance



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