Bonjour Rira.
Qu'est-ce qui n'est pas clair ??

jsvdb
Pourquoi si G n'est pas dense alors G est un sous espace vectoriel strict de G (barre)

Bonsoir,
que signifie G est dense ? dans quoi ?

Pour rappel, si est sev de E alors l'est aussi.
De plus si G est de dimension finie, alors est fermé et .

Mais je dirai qu'il n'y a pas besoin de supposer que soit non dense dans pour conclure que est un sev strict de .

Il faut plutôt supposer que G est un sev non fermé dans X (on est donc implicitement en dimension infinie) et donc on a , ie .
Il y a donc un élément de qui n'est pas dans .
Par conséquent, les sous-espace n'est pas inclus dans G et donc G est un sev strict de .

* le sous-espace n'est pas inclus dans G et ...

jsvdb
Merci , c'est ce que je me suis dit .
Sauf que je n'ai pas il n y a rien qui dit que G n'est pas fermé

verdurin
G est dense dans E

verdurin
G est dense dans E

Je t'ai donné des considérations générales; je ne connais l'exercice sur lequel tu travailles.

jsvdb
Donc ce que j'ai compris on ne peut rien conclure du fait que G n'est pas dense

Mais j'en sais rien; encore une fois, je ne connais pas le contexte dans lequel tu travailles.
Fournis un énoncé complet et on verra ensuite.

jsvdb
IL existe  un vecteur u de norme 1 et tel que ∀y∈F ://u−y//≥r  avec F un sous espace vectoriel fermé de E
Ce qu'il faut montrer:
Soit G un sous espace vectoriel de E. On suppose qu'il existe un réel r, tel que 0 < r < 1 et pour tout vecteur unitaire u, on a d(u,G) < r. Alors G est dense dans E.

En fait ce que tu veux montrer ( ce que tu as écrit ) est faux.

On prend par exemple et .

G n'est pas dense dans E, c'est presque évident, et G est fermé, d'où

Je crois qu'il manque des détails à ton énoncé.