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Densité de probabilité

Posté par
markland 19-01-18 à 00:19

bonjour, je dois donner l'unique valeur de\lambda pour laquelle la fonction f : f(x)=\lambda x² \times \exp (-x²/2), x \epsilon R, est la densité d'une variable aléatoire X.

Je reconnais la densité d'une loi normale centrée réduite à l'exception du premier x², de quelle manière puis je donc l'enlever de manière à trouver \lambda=\sqrt{1/2\Pi }

Posté par
flightre : Densité de probabilité 19-01-18 à 03:39

salut

on peut pas retirer le x² comme ca ... il faut plutot tranformer l'ecriture donnée en

x².e-x²/2= x.(x.e-x²/2)   et faire une integration par partie

Posté par
marklandre : Densité de probabilité 19-01-18 à 09:54

Est-ce la seule solution ? Comme je l'ai dit ne pouvons-nous pas essayer de faire apparaître la loi normale centrée réduite car l'intégration par parties a été rapidement vu dans mon cours (je ne l'utilise/maîtrise donc très peu..)

Posté par
flightre : Densité de probabilité 19-01-18 à 12:59

la  fonction densité de la loi normale ne comprend  de terme  x² en facteur

Posté par
lakere : Densité de probabilité 19-01-18 à 14:49

Bonjour,

Citation :
ne pouvons-nous pas essayer de faire apparaître la loi normale centrée réduite car l'intégration par parties a été rapidement vu dans mon cours (je ne l'utilise/maîtrise donc très peu..)


  On peut contourner le problème en faisant une intégration par parties sans le dire:

   Soit g définie sur \mathbb{R} par g(x)=\lambda\,xe^{-\frac{x^2}{2}}

   g est dérivable sur \mathbb{R} et:

   g'(x)=\lambda\,e^{-\frac{x^2}{2}}-\lambda\,x^2\,e^{-\frac{x^2}{2}}

  g'(x)=\lambda\,e^{-\frac{x^2}{2}}-f(x)

d'où  f(x)=\lambda\,e^{-\dfrac{x^2}{2}}-g'(x)

Sous réserve que les intégrales soient convergentes (elles le sont), on a donc:

    \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\text{d}x=\underbrace{\left[-g(x)\right]_{-\infty}^{+\infty}}_{0}+\lambda\,\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}\,\text{d}x}_{\sqrt{2\pi}}

Reste à écrire que \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\text{d}x=1



  

Posté par
alb12re : Densité de probabilité 19-01-18 à 17:10

salut,
on sait que la variance de N(0;1) est 1

Posté par
marklandre : Densité de probabilité 19-01-18 à 17:21

lake, très bien on trouve donc \lambda = 1/\sqrt{2\Pi }, reste à savoir de quelle manière je peux m'entraîner à trouver et introduire g(x).

alb12, en effet mais je ne vois pas là ou vous voulez aller.. :/

Posté par
lakere : Densité de probabilité 19-01-18 à 17:27

Citation :
reste à savoir de quelle manière je peux m'entraîner à trouver et introduire g(x).


En apprenant à faire correctement des intégrations par parties

Posté par
alb12re : Densité de probabilité 19-01-18 à 17:39

si U:N(0;1) alors E(U^2)=1


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