oui, pardon
je pensais à la définition de segment, désolée

Muriel, je ne sais pas ce que dans le livre Monier voyulait dire, mais si c'est pour dire que Q est dense dans Q ce n'est pas très pertinent, puisque comme l'a fait remarqué Otto, tout espace topologique est dense dans lui même.

sauf N et Z
trouve un élément entre 0 et 1

Bah c'est ce que je disais tout à l'heure moi muriel mais on m'a contredit

Prend ta définition de densite Muriel et tu verras que si tu prends une boule dans N , puisqu'elle est centré en un élément de N, elle contient necessairement un élément dans N donc N est bien dense dans N

il ne faut pas prendre un élément autre que celui choisi?
je m'explique
E est dense dans E, si
pour tout x de E, et toute boule contenant x, il existe un élément y de E autre que x.

c'est à voir, mais je pense que c'est ici que se situe le problème

Non il n'y a aucune raison que ce soit un autre élément.
Puisque comme autre définition de la densité,tu as la suivante, celle que j'ai cité tout à l'heure mais que je vais reformule avec des boules
Un espace A est dense dans E si pour tout élément x de E, quelquesoit la boule centré en x son intersection avec A est non vide.

Donc là encore tout dépend de la définition qu'on donne à la densité ...

Bien sur une oule de rayon > 0, sinon les seuls espaces A  denses dans E serait l'espace E lui même.

Non nightmare la définition de densité que ce soit celle qu'a donné muriel ou la mienne ou celle d'otto ou tout autre que tu trouveras représente la même chose mais formulé autrement.
Je répète la démonstration du fait que tout espace topologique est dense dans lui même ce fait avec la définition de Muriel.

Bon eh bien dans ce cas là il reste le dileme de la définition de Monier ...

oui, c'est vrai, mais à mon avis c'est le même problème que lorsqu'on parle de limite en un point, c'est histoire de épointer ou non, doit se retrouver ici, j'en suis sûre, vu que la définition utilisé dans le livre est bien x et y distinct, non?
(surtout que j'ai trouver cette définition dans un dictionnaire de maths, avec x et y distinct aussi )

La définition avec pour tout point x < y appartenant à R alors il existe z appartenant a A tel que x<a<y prouve en effet que A est dense dans R.
C'est peut être cela que voulais dire Monier.

Parcontre je ne comprend pas ta remarque par rapport aux limites?

il existe de sorte de définition de limite en un point a, qui ne sont pas équivalentes:

1ère:
on dit que f a pour limite l en a, si
pour tout > 0, il existe > 0 tel que:
pour tout x de IR, |x-a| < implique |f(x)-l| <

2ème:
on dit que f a pour limite l en a, si
pour tout > 0, il existe > 0 tel que:
pour tout x de IR\{a}, |x-a| < implique |f(x)-l| <

elles ne sont pas équivalente, il te suffit de prendre la fonction de Dirac:
x
l'une admet une limite (la 2ème) l'autre non

Je suis tout à fait d'accord que ces deux définitions ne sont pas les mêmes dès que l'on prend une fonction discontinue cela ne fonctionne plus.
Cependant je ne suis pas sur mais pour moi la première ne représente pas vraiment la définition de limite mais plutot celle de continuité en un point.
Car la seconde correspond au fait que la fonction admet une limite à droite et à gauche, alors que la seconde nécessite que cette fonction en chaque point ou elle admet une limite soit continue, ce qui n'est pas pareil.

sauf que ces deux définitions existent belles et bien (la première est vu au niveau du secondaire)
en effet, le première est équivalent à dire que la fonction est continue

c'est le problème du CAPES, quelle définition prendre?

En fait je ne suis pas sur de ce que j'ai dis,
en fait pour moi la définition de la limite serait plutôt la suivante si l'on se place dans R
Si c appartient au domaine de définition de f, f admet une limite en c si elle admet une limite à droite une limite à gauche et que ces deux limites sont égales à f(c)
Si c n'appartient pas au domaine de définition de f, alors f admet une limite en c si elle admet une limite à droite et une limite à gauche et que celles-ci coincide.
ce qui correspond à la première définition de la limite.
Donc en fait c'est plutot la première définition qui semble correcte ou as tu trouvé la seconde.

otto:
R est dense dans D, je ne pense pas puisque R contient strictement D.

Ensuite éventuellement la réciproque:
Soit x un élément de R, alors il existe (xn)_n€A=[-oo,k] xn à valeur dans {0,...,9} tel que
x=somme des x_n*X^n n variant dans A.
Donc D est bien dense dans R.

pourais tu expliquer d'avantage ta demo car je n'ai pas tres bien conpris
merci

"pourais tu expliquer d'avantage ta demo car je n'ai pas tres bien conpris"
Oui bien sur, je pense que c'est un problème de notation de ma part:

Je prend juste le développement décimal d'un réel, mettons que je prenne Pi:
x0=3
x1=3.1
x2=3.14
x3=3.141
etc
cette suite converge vers Pi
Tu peux faire çà avec n'importe quel nombre.
C'est grosso modo ce que t'as fait je crois.

Pour ce qui est de la densité, il faut arreter de se voir ca comme un ensemble qui entre deux points donnés, en contient un troisième, c'est complétement faux!
A est dense dans X si le plus petit fermé contenant A est X.
Il n'y a aucune question d'ordre là dedans.
Ensuite N et Z sont trivialement fermés pour l'ordre usuel puisque c'est une union de fermés dont la distance minimale entre chaque élément est strictement positive..
Si Z n'était pas fermé, alors il existerait une suite d'entiers convergente mais vers un non entier, ce qui est assez aberrant...

A+

"Si c appartient au domaine de définition de f, f admet une limite en c si elle admet une limite à droite une limite à gauche et que ces deux limites sont égales à f(c)"

Ca c'est la "définition" de la continuité en c de f (si on se place dans un ensemble à base dénombrable d'ouverts).

La bonne définition dans celles données par Muriel est la deuxième, sinon la fonction de Dirac n'aurait pas de limite, et sinon toutes les fonctions qui admettaient une limite finie en a seraient continue en a.

pour Titimarion,
je le répète, ces deux définitions sont correctes et existent belles et bien.
vu que tu es en master, cela m'étonne que tu n'en aies jamais entendu parler.
(personnellement, j'en ai entendu parler lors de ma préparation CAPES, parce que j'avais jamais fait attention à cette différence des deux, j'avais apprise la seconde dans ma fac, et la première au niveau du lycée)

La première définition est fausse, oublie là, surtout si tu passes le CAPES.

la première n'est pas fausse, elle existe belle et bien.
(j'en avais discuter avec mes profs de fac)
et pour ce qui est du capes, cela dépent du niveau dont tu places ton exposé
il faut bien savoir qu'il en existe deux non équivalente, c'est tout (otto, je ne vaux pas être méchante ou agressive, mais tu habites apparement au Canada, et ce n'est peut-être pas les mêmes notion étudier).
deuxième preuve qui indique que tu commais une erreur en disant que c'est faux: Titimarion a vu la première en cours, donc ces profs lui on appris des conneries?

"Titimarion a vu la première en cours, donc ces profs lui on appris des conneries?"

Oui et ce ne serait pas la première fois que ca arrive.
T'en donnes toi même une preuve.

Re Bonjour à tous

Je viens de vérifier dans mon livre d'Analyse de Monier et la définition de muriel y est bien (sauf qu'a la place R c'est I , et on a a qui appartient à l'adhérence de I)

Enfin maintenant quand on voit la définition de la densité de Monier c'est douter de celle là


jord

Oui mais on l'a tous vu cette définition, cependant elle n'est pas complète, il manque le fait que x ne doit jamais être égal à c lui même.
C'est un problème qui revient souvent justement au niveau de l'enseignement.

D'ailleurs ca signifierait que la fonction est définie au point considéré, ce qui est clairement faux.

Avec cette définition, quelle serait la limite de x->1/x² en 0?
Il n'y aurait tout simplement pas de limite pour cette fonction.
Comme tout ce qui est local en général, on se fiche bien de savoir ce qui se passe sur le point considéré, on regarde ce qui se passe autour.

Otto, donc je te propose de basarder tous les manuels scolaires, tous les livres scientifiques, de virer tous les profs qui pensent que la 1ère définition existe
parce que c'est une erreur.

attends, aulieu de penser que c'est une erreur, tu as le droit de dire que voilà,il existe deux définitions non équivalentes, mais que pour telle ou telle raison, tu utilises celle ci ou cele la.

ce ne serait pas la première fois que ca arrive

désolée, mais ce que tu viens d'écrire me révolte un peu, parce que si je comprends bien, les prof (et donc moi en particulier) ne savont rien, on raconte souvent des conneries, mais comment es tu arrivé jusqu'à ce niveau?
maintenant, si tu penses que les profs racontent trop souvent des conneries, qu'est-ce qui te prouve que ce que tu sais n'es pas une énorme connerie?
tu viens toi même de dire endisant cette phrase qu'il est inutile de faire des études, parce que ce qu'on nous enseigne n'est pas correct, mais qu'est-ce qui est correct alors?
pourquoi ce que tu penses est plus juste que ce que Timarion (ou ses profs) pense(nt) ?

d'accord je m'emporte un peu, mais évites de sortir le couplet fatidique de tout le monde: les profs ne sont pas apte à enseigner, parce qu'ils ne savent même pas donner des choses correctes.
en plus ici, ce n'est même pas vrai, parce que les profs sont obliger de parler de certaines choses et non d'autres (c'est le ministère qui décide du programme).

je crois que je vais arrêter ici, parce que je n'ai pas envie d'être trop agressive (mais je ne le suis pas envers toi personnellement, donc ne te sens pas agresser, s'il te plait )

pour ton dernier point, on parle de limite à droite et à gauche
donc x1/x² a bien une limite à droite et à gauche.

désolée, mais ce que tu viens d'écrire me révolte un peu, parce que si je comprends bien, les profs (et donc moi en particulier) ne savons rien, on raconte souvent des conneries

Bein quand un prof racconte que Z n'est pas un fermé de R (muni de la topologie usuelle), je pense que c'est un peu plus révoltant que de dire la vérité, parce que c'est évidemment complétement faux, mais bon, j'habite au Canada, je dois me tromper, les maths n'y sont pas les mêmes y parrait...

je ne crois pas que ce soit une histoire de lieu géographique, les maths sont partout pareils
à mon avis

mais là où tu commets une erreur, c'est de dire voilà cette définition est correcte et celle-ci est fausse point
je ne crois pas que tu es assez de pouvoir et de recule pour affirmer cela.
il est vrai qu'un prof peut commetre des erreurs, mais il n'est pas vraissemblable que tout une population l'a commettent.
franchement, tu ne t'aies jamais posé la question si ce que tu apprenais était correct, vu que tu affirmes que les profs font des erreurs?
moi a ta place, je me poserais des questions.
en plus, même les livres font des erreurs, mais que doit on faire?
je pense que tu devrais me répondre vu qu'apparement tu sais quelle définition est juste et laquelle est fausse, donc tu dois surement savoir ce qu'on doit faire, mais bon c'est seulement ce que tu fais apparaître dans tes messages.

au fait, c'est quoi cette histoire de Z non fermé dans IR?

C'est drôle, finalement je pense que l'on est d'accord
Ton bouquin, ou ton prof qui te dit la première définition se trompe, c'est une mauvaise définition, ou sinon il est implicite que le x ne doit pas être égal à c.
Tu as toi même donné une preuve que sinon ca n'avait pas de sens.

Et oui il arrive que les profs et les livres fassent des erreurs, et c'est même fréquent, donc attention à ne pas gober tout ce qui est dans un bouquin. Il arrive même que certains éditeurs n'acceptent pas les coerrectifs qu'on leur envoi...
Sur ce, bonne chance pour ton oral du CAPES.
A+

C'est drôle, finalement je pense que l'on est d'accord

je ne crois pas, ce que j'avais écrit plus haut était de l'ironie sur ta façon de penser, parce que pour moi, il faut savoir qu'il y a deux définitions de la limite, l'une est synonyme de continuité et l'autre permet de donner un sens au fonction de Dirac.
ensuite, Tu as toi même donné une preuve que sinon ca n'avait pas de sens.
si tu parles de ton exemple, x 1/x²
j'ai précsé qu'elle avais une limte avec les deux définition
par contre, si tu parles de la fonction de Dirac, oui, cette fonction n'a pas de limite avec la 1ère définition, et alors? il y a beaucoup de fonction qui n'ont pas de limite, que ce soit avec l'une ou l'autre des définition, ce n'est pas pour autant que ce sont de mauvaises définitions.

Sur ce, bonne chance pour ton oral du CAPES.
merci

à la prochaine

"ce n'est pas pour autant que ce sont de mauvaises définitions."

Si deux caractérisations d'un même phénomène ne concordent pas, c'est probablement qu'il y'en a une au moins qui est mauvaise, non?

je ne crois pas que tu es assez de pouvoir et de recule pour affirmer cela.
Ah bon?
Qu'est ce qui te permet d'affirmer ceci?

Amicalement.

"Si deux caractérisations d'un même phénomène ne concordent pas, c'est probablement qu'il y'en a une au moins qui est mauvaise, non?"

Faux si la théorie est inconsistante


Jord

Lol, ouais, je ne suis pas logicien, alors je ne peux pas te répondre sur ce coup là.
A+

J'oubliais que tu n'aimais pas être contrarié !


Jord

Non non, chacun son opinion, surtout si c'est la même que la mienne.

Je me dois de répondre aussi,
après réfléxion sur le sujet je serais du même avis que Muriel ce sont deux définitions de la limite différente et non équivalente.
Bien sur avec la première la fonction de dirac n'admet pas de limite en 0. et cette définition caractérise l'ensemble des fonctions continue, encore faut il que le point ou l'on cherche la limite soit dans le domaine de définition.
cette définition a un énorme intéret puisqu'elle permet de dire que f est continue en un point si elle admet une limite en ce point.

L'autre définition est bien sur différente, puisque cette fois-ci la fonction de Dirac admet une limite en 0. Mais alors elle ne fait que caractériser le fait que f admet une limite à gauche et à droite.

Aisni elles ont toutes deux leur utilité, et lezur différence.

Cependant il ne faut pas oublier qu'en général on cherche rarement a calculer la limite d'une fonction en un point en lequel elle est définie, puisque l'on connait déjà la valeur de f en ce point, ainsi lorsque l'on se place en dehors du domaine de définition ces deux définitions coïncide(encore faut il que la limite soit finie)


Otto je tiens à signaler que tu dis 1/x² n'admet pas de limite avec la première définition car cette application n'est pas défini en 0. Mais de toute façon avec les 2 défintion cette fonction n'admet pas de limite car Muriel n'a donné que la définition de limite finie d'une fonction.
De plus Que l'on considère la première ou la deuxième définition,(quitte a rajouter le cas de la lim infinie) cette fonction admet une limite car en fait dans les deux cas on regarde la lim quand x tend vers 0 de 1/x² mais bien sur x doit être dans le domaine de définition et 0 n'y est pas. ainsi ton affirmation comme quoi cette première définition n'est pas valable tombe à l'eau.

Je suis bien d'accord avec le fait que la première définition est celle de la continuité et la seconde celle d'une limite finie en x=c

En effet j'ai pris un mauvais exemple pour x->1/x², car nous avons la définition d'une limite finie ici en un point c qui est également fini.

Mais je trouve que l'intéret de la première définition est très limité, en effet qu'est ce qu'une fonction possèdant une singularité enlevable?
Avec la première définition, ca n'existe pas, et on perd toute une classe de fonctions. (même si on peut "recoller" les morceaux)
Avec la seconde définition c'est ce que l'on connait.

La première définition est une définition de continuité en c, ce qui est beaucoup plus fort que celle d'avoir "juste" une limite en c.

La première propriété impliquant donc la seconde.

1-f est continue en c<+oo
2-f admet une limite finie en c<+oo

Dans le fond, tout ca n'a que très peu d'importance.
A+
Bon chance pour ton agreg.

Otto:
je ne crois pas que tu es assez de pouvoir et de recule pour affirmer cela.
Ah bon?
Qu'est ce qui te permet d'affirmer ceci?

simplement en me basant sur le fait qu'il n'y a personne qui peut prétendre au savoir universel.
en plus, si je suis ta logique, il ne faut pas croire tout ceux que les profs ou plus généralement, les gens racontent
donc tu ne peux pas dire que cette définition est juste plutôt qu'une autre, je me trompe?

"(donc tu ne peux pas dire que cette définition est juste plutôt qu'une autre) je me trompe?"

Non, en effet.
Ma vision des choses est de pousser les gens à penser par eux même et à leur faire prendre consience de ce qu'ils manipulent et de ce qui les entoure. Si on prend déjà conscience qu'il y'a deux définitions différentes, c'est déjà ca.
Amicalement,
Otto

maintenant, on est d'accord

bonne soirée, _{j'ai aprécié cette discussion}

salut.
pour en finir avec ces deux définitions non équivalentes de la limite finie en un point:
la première, que certains ont apparemmment rencontrés dans le secondaire, n'a de sens que pour des fonctions continues, et ça tombe bien, puisqu'on ne rencontre que ces fonctions au lycée.
mais dites moi, avec cette définition de la limite, quid du prolongement par continuité d'une fonction en un point? lim sin(x)/x en 0, ça vous dit quelque chose??
cette première définition de la limite n'a de sens que pour des fonctions continues: ça ne peut donc pas être une définition générale de la limite, qui, comme le disait otto, étudie les valeurs de la fonction au voisinage d'un point, sauf en ce point.
la première définition donnée par muriel n'a pas que ce défaut puisqu'en plus, elle considère x,tel que...
et l'apparternance de x à l'ensemble de définition de f, on en fait quoi?
sur ce problème de vrai, fausse définition, comment définit-on correctement un rationnel? en cinquième, en deug?
la géométrie propose ce genre de problèmes: qu'est-ce qu'un vecteur? ou pire, un angle? les définitions données à nos chers têtes blondes sont déstinées à évoluer et sont généralement "fausses" mais adaptées à l'usage qu'on veut en faire et aux cas particuliers de l'étude envisagée au niveau considéré.voilà.

Salut

Il y a fort longtemps , dans le secondaire , on épointait les intervalles pour définir les limites : voir manuels des années 60

Puis , pour des raisons que je ne connais pas , on a modifié la définition de limite de telle façon que :

si f(a) existe et si f admet une limite en a , cette limite est forcément égale à f(a)

Ce qui signifie , par exemple , que , avec la définition actuelle ,
la fonction f suivante n'a pas de limite en 0 :

f(x) = x^2 si x non nul

f(0) = 1

C'est le genre d'exemples complètement artificiels que l'on a pu trouver dans les manuels scolaires

jean-émile