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Densité des fonctions lisses à support compact dans L^p

Posté par
fade2black 30-10-09 à 17:06

Bonjour,

j'aimerais montrer que {C_c}^{\infty} est dense dans Lp pour la norme p. Ca serait pour un développement d'agreg de 15 minutes alors il me faudrait trouver une démo rapide.

J'ai vu que ça se faisait en deux étapes :
- une étape de régularisation où on montre que si u_n est une approximation de l'identité lisse à support compact (ça existe bien) et f Lp à support compact, alors u_n*f converge vers f. On montre ainsi que les fonctions lisses à support compact sont denses dans l'ensemble des fonctions Lp à support compact.
- une étape de troncature, où on approche une fonction f de Lp par une suite (fn) de Lp à support compact. On montre ainsi que les fonctions Lp à support compact sont denses dans Lp, et c'est fini.

L'étape de troncature se fait en trois lignes si je ne me trompe pas, c'est l'étape de régularisation qui me pose problème.

D'après ce que j'ai vu, on est obligé de montrer que les fonctions continues à support compact sont denses dans l'ensemble des fonctions Lp à support compact, et ça n'a pas l'air évident du tout...

Vous avez une référence où je pourrais trouver une démonstration rapide , Est-ce que les démonstration varient beaucoup suivant que je veuille le faire pour Lp(R), Lp(R^n), Lp(Omega) où Omega est un ouvert de R^n ?

Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
Rodrigore : Densité des fonctions lisses à support compact dans L^p 30-10-09 à 17:12

Bonjour,
Ben non c'est evident non?
Si tu prends u_n une approximation de l'identité alors il est clair que u_n*f est à support compact et ensuite il est pa dur de montrer que u_n*f (notée f_n) converge vers f.
Tu dis juste que |f(x)-f_n(x)|=\int (f(t)-f(x))u_n(t) d\mu qui est dominé par 2 intégrale de f uniformément en n... (bon ca c'est dans L1, tu adaptes pour L_p)

Posté par
fade2blackre : Densité des fonctions lisses à support compact dans L^p 30-10-09 à 17:28

Je ne vois pas comment tu domines, le u_n me pose problème vu que ça ressemble à une fonction qui a un support de plus en plus étroit autour de zéro mais qui prend des valeurs de plus en plus grandes sur son support...

Posté par
fade2blackre : Densité des fonctions lisses à support compact dans L^p 30-10-09 à 17:32

J'arrive par contre à montrer que ||fn-f||_p\le sup_{y\le 1/n}(||\tau_y f-f||_p).

Mais que ce soit dans le Brézis ou dans le Zuily Queffelec, on se sert du fait que les fonctions continues à support compact sont denses dans L^p pour montrer que le membre de droite tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

Posté par
fade2blackre : Densité des fonctions lisses à support compact dans L^p 30-10-09 à 17:32

(où \tau_y f(x)=f(x-y))

Posté par
Rodrigore : Densité des fonctions lisses à support compact dans L^p 30-10-09 à 17:38

OUi, non j'ai dit n'importe quoi...

Posté par
fade2blackre : Densité des fonctions lisses à support compact dans L^p 30-10-09 à 19:06

En fait, le problème se résume à montrer que lim_{y\map 0}(||\tau_y f-f||_p)=0. Pour ça, on peut soit montrer que les fonctions continues à support compact sont denses dans Lp (Brézis par exemple), soit que les fonctions étagées sont denses dans Lp (Faraut par exemple). L'un comme l'autre à l'air de demander beaucoup de travail.


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