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Densité des matrices diagonalisables

Posté par
AlexQuiFlex
15-03-23 à 16:52

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour montrer que l'ensemble des matrices diagonalisables est dense dans M2(C) ( les matrices de taille 2x2 à coefficients complexes).

Voici mes premières pistes :
J'ai essayé de caractérisé l'ensemble des matrices diagonalisables. J'en ai déduit que c'était toutes matrices avec 2 valeurs propres distinctes ou qu'elles étaient colinéaires à I2.

J'ai donc cherché une suite de matrices vérifiant cela et qui converge vers une matrice M non diagonalisable (qui a donc 1 seule valeur propre).  C'est là que ça coïnce : je me suis dit qu'il faut peut-être passer par la trigonalisation de M puisqu'on est dans C mais je ne vois pas trop en quoi cela m'aide.

Auriez-vous une piste à suggérer ?

Merci d'avance

Posté par
lionel52
re : Densité des matrices diagonalisables 15-03-23 à 16:58

Trouve une suite de matrices diagonalisables simples qui convergent vers \begin{pmatrix}1 & 1 \\0 & 1\end{pmatrix}



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