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Densité des moyennes ?

Posté par
Imod 07-04-19 à 11:38

Bonjour à tous

On considère l'ensemble I des inverses des entiers strictement positifs et M le plus petit sur-ensemble de I contenant toute moyenne ( arithmétique ) de l'un de ses éléments avec un élément de I .

Par exemple \frac 5{16} \in M car \frac 5{16}=\frac 12[\frac 12(\frac 13+\frac 14)+\frac 13].

M est clairement contenu dans ]0 ;1]\cap \mathbb{Q} , l'inclusion est-elle stricte ?

Amusez-vous bien

Imod

Posté par
verdurinre : Densité des moyennes ? 07-04-19 à 20:59

Salut.

Juste une question, je n'ai pas assez réfléchi : comment obtenir 1-\frac1n ?

C'est clairement possible si n=2^k, mais si n est premier impair . . .

J'y retourne immédiatement .

Posté par
Imodre : Densité des moyennes ? 07-04-19 à 21:49

Bonjour Verdurin

En tout cas on peut obtenir 1-\frac 13=\frac 12(1+\frac 13)

Bon courage .

Imod

Posté par
verdurinre : Densité des moyennes ? 08-04-19 à 00:23

En effet

Posté par
LittleFoxre : Densité des moyennes ? 08-04-19 à 14:30


Il faudrait trouver une méthode pour décomposer n'importe quelle fraction p/q avec 0<p<=q. C'est pas trivial.

Par exemple pour 5/7 j'ai :

\frac{5}{7} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}(\frac{1}{2}(\frac{1}{7}+\frac{1}{2}(\frac{1}{7}+\frac{1}{4}))+\frac{1}{2}(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}(\frac{1}{1}+\frac{1}{2})))+\frac{1}{2}(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}(\frac{1}{1}+\frac{1}{4}))))

Ce qui ne me semble pas trivial du tout.

Posté par
LittleFoxre : Densité des moyennes ? 08-04-19 à 16:32


En fait, il y a toujours moyen d'exprimer p/q 0<p<=q en utilisant que des fractions 1/q et 1/2q

Supposons q pair, si q est impair, on multiple p et q par 2.

On a 1/q, 2/q et q/q qui sont définis (resp 1/q, 1/(q/2) et 1/1): 

 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 x  x                                x


si p/q est défini alors p'/q est défini comme 1/2(1/q+p/q) si p est impair, 1/2(2/q+p/q) si p est pair. On défini ainsi une série de "pivot" en divisant par 2: 

 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 x  x  x  x        x                 x


Ensuite, pour chaque fraction non définie p/q en partant de la plus petite, on trouve a/q le plus petit pivot supérieur à p/q et on a p/q = 1/2(w/q+a/q) avec w = 2p-a. Comme a/2 < p <a, on a 0=a-a<w < 2p-p = p et donc w/q est bien définie.

On peut donc ainsi définir n'importe quelle fractions p/q avec 0<p<=q.

CQFD

Posté par
LittleFoxre : Densité des moyennes ? 08-04-19 à 17:05


Par exemple avec 5/7.

\frac{1}{14}\\ \\ \frac{2}{14}=\frac{1}{7} \\ \\ \frac{14}{14} = \frac{1}{1}

\frac{8}{14} = \frac{1}{2}(\frac{2}{14}+\frac{14}{14}) \\ \\ \frac{5}{14} =  \frac{1}{2}(\frac{2}{14}+\frac{8}{14}) \\ \\ \frac{3}{14} =  \frac{1}{2}(\frac{1}{14}+\frac{5}{14}) \\ \\

\frac{5}{7} = \frac{10}{14} = \frac{1}{2}(\frac{1}{1}+\frac{6}{14}) =  \frac{1}{2}(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}(\frac{8}{14}+\frac{4}{14})) = \frac{1}{2}(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}(\frac{8}{14}+\frac{1}{2}(\frac{5}{14}+\frac{3}{14})))

En remplaçant:

\frac{5}{7} = \frac{1}{2}(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}(\frac{1}{7}+\frac{1}{1})+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}(\frac{1}{7}+\frac{1}{2}(\frac{1}{7}+\frac{1}{1}))+\frac{1}{2}(\frac{1}{14}+\frac{1}{2}(\frac{1}{7}+\frac{1}{2}(\frac{1}{7}+\frac{1}{1}))))))

Posté par
LittleFoxre : Densité des moyennes ? 08-04-19 à 18:22


Mouais, j'ai fait une erreur puisque c'est moyenne de I avec M et pas M avec M

Posté par
Imodre : Densité des moyennes ? 08-04-19 à 18:31

Bonjour LittleFox

Je pense que nous avons la même idée mais pas la même façon de l'exprimer , tu procèdes par récursivité alors que je construis les moyennes en introduisant des paramètres . Tu épuises les a/b avec b donné alors que je compose avec a pour b donné .

5/7 c'est un peu facile , on s'amuse un peu plus avec 27/31

Sans écrire de formule ( de toute façon illisible ) , comment enchaîner les moyennes pour obtenir le résultat au plus vite ? Par exemple 27/31 .

Imod

  

Posté par
LittleFoxre : Densité des moyennes ? 08-04-19 à 19:02


D'après mon programme :

\frac{27}{31} = \frac{1}{2}(\frac{1}{1}+\frac{23}{31}) \\ \\ \frac{23}{31} = \frac{1}{2}(\frac{1}{1}+\frac{15}{31}) \\ \\ \frac{15}{31} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{29}{62}) \\ \\ \frac{29}{62} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{27}{62}) \\ \\ \frac{27}{62} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{23}{62}) \\ \\ \frac{23}{62} = \frac{1}{2}(\frac{1}{31}+\frac{22}{31}) \\ \\ \frac{22}{31} = \frac{1}{2}(\frac{1}{1}+\frac{13}{31}) \\ \\ \frac{13}{31} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{21}{62}) \\ \\ \frac{21}{62} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{11}{62}) \\ \\ \frac{11}{62} = \frac{1}{2}(\frac{1}{31}+\frac{10}{31}) \\ \\ \frac{10}{31} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{9}{62}) \\ \\ \frac{9}{62} = \frac{1}{2}(\frac{1}{31}+\frac{8}{31}) \\ \\ \frac{8}{31} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{1}{62}) \\ \\

Comme vu précédemment on a besoin que de 1/(2q), 1/q, 1/2 et 1/1. Mais j'ai pas encore compris la logique derrière la séquence.

Posté par
vhamre : Densité des moyennes ? 09-04-19 à 10:09

Bonjour,

Je regarde vos interventions avec intérêt mais je suis géné par un langage dont vous devriez corriger l'expression :

Citation :
Comme vu précédemment on n'a besoin que de 1/(2q), 1/q, 1/2 et 1/1. Mais je n'ai pas encore compris la logique derrière la séquence.

Posté par
LittleFoxre : Densité des moyennes ? 09-04-19 à 10:31

@vham
J'essayerai d'y faire attention. Merci

Posté par
Imodre : Densité des moyennes ? 09-04-19 à 12:18

Bonjour Vham

Des fautes on en fait tous , surtout sur un site qui n'autorise aucune correction . Personnellement je ne vais pas chercher querelle si j'ai compris l'idée

@LittleFox : la dichotomie générée par la moyenne fait penser à la base 2 et c'est ce que tu as traduit avec ton 2q . J'ai une solution complète "faite maison" dans laquelle apparaissent les puissances de 2 mais je n'en suis pas complètement satisfait car je pense qu'il y a une idée simple ( genre écriture binaire ) qui se cache sous les calculs .

Donc affaire à suivre

Imod

Posté par
LittleFoxre : Densité des moyennes ? 09-04-19 à 15:47


J'ai fait un petit programme pour me générer les graphes du nombre d'étapes nécessaires pour obtenir toutes les fractions p/q avec q donné.

 Cliquez pour afficher

Pour q impair, on ne peut générer que 1 ou 3 fractions. Pour q pair par contre on peut toutes les générer. J'ai vérifié jusque q = 20000.

Voici par exemple le graphe de q = 62 (=2x31).
On voit par exemple que 54/62 est la moyenne de 46/62 et 62/62. 

 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62
 x  x                                                                                      x                                                                                            x
 |  |                                         x                                            |  x                                                                                         |
 |  |                    x                    |  x                                         |  |                    x                       x                                            |
 |  |        x           |                    |  |        x           x                    |  |        x           |                       |                                            |
 |  |  x     |           |     x     x        |  |  x     |           |                    |  |  x     |           |     x     x           |                                            |
 |  |  |     |  x  x     |  x  |     |        |  |  |     |  x  x     |                    |  |  |     |  x  x     |  x  |     |           |                                            |
 |  |  |  x  |  |  |     |  |  |  x  |        |  |  |  x  |  |  |     |     x              |  |  |  x  |  |  |     |  |  |  x  |           |     x     x                                |
 |  |  |  |  |  |  |     |  |  |  |  |  x     |  |  |  |  |  |  |     |  x  |              |  |  |  |  |  |  |     |  |  |  |  |  x        |  x  |     |  x                             |
 |  |  |  |  |  |  |  x  |  |  |  |  |  |     |  |  |  |  |  |  |  x  |  |  |  x  x        |  |  |  |  |  |  |  x  |  |  |  |  |  |        |  |  |     |  |  x     x     x              |
 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  x  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  x     |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  x     |  |  |  x  |  |  |     |     |              |
 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  x  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |     |  |  |  |  |  |  |     |  x  |              |
 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  x  |  |  |  |  |  |  |     |  |  |     x        |
 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  x  |  |  |     |        |
 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  x  |        |
 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  x     |
 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  x  |


Il n'y a pas de tendance claire qui se dessine. Sinon que les fractions avec grand p semble plus difficiles à générer que les autres.

Posté par
Imodre : Densité des moyennes ? 09-04-19 à 17:54

J'ai un peu de mal à lire ton graphique LittleFox

Tu pourrais me donner une fraction pas trop compliqué ( numérateurs et dénominateurs à deux chiffres ) longue à obtenir par moyennes successives ( j'aimerais faire le lien avec l'écriture binaire de certains nombres ) .

Après je donne ma méthode

Imod

Posté par
LittleFoxre : Densité des moyennes ? 10-04-19 à 11:53


Mon graphique se lit :
Au départ on connait 1,2,q/2 et q (1,2,31 et 62), ils font parties de I.
En utilisant ces 4 éléments de I on génère la deuxième ligne : 16 = (1+31)/2 et 32 = (2+62)/2
Avec ces deux nouveaux éléments de M et les 4 éléments de I on génère la troisième ligne : 9 = (2+16)/2, 17 = (2+32)/2, 39 = (62+16)/2 et 47 = (62+32).
On continue avec ces 4 nouveaux éléments de M et ainsi de suite jusqu'il n'y ait plus de nouveau élément.
Les 'x' sont les nouveaux éléments de M et les '|' ceux précédemment générés.

Les pires fractions avec un dénominateur a deux chiffres sont 61/62 (15 étapes), 83/84 (13 étapes), 91/94, 77/78 et 59/60 (chacun 12 étapes).

Posté par
verdurinre : Densité des moyennes ? 10-04-19 à 16:17

Salut,
si on peut obtenir 30/31 en moins de 14 étapes alors on peut obtenir 61/62 en moins de 15 étapes en faisant la moyenne entre 1 et 30/31.

Posté par
Imodre : Densité des moyennes ? 10-04-19 à 17:24

Ce n'est pas faux

En tout cas 31=\overline{11111} en base 2 , ce n'est pas un hasard .

Imod

Posté par
verdurinre : Densité des moyennes ? 10-04-19 à 17:45

Il est possible qu'il y ait un lien.
En tous cas on peut se limiter aux nombres premiers : si on sait écrire toutes les fractions du type k/m et k/n en passant par les milieux alors on sait écrire toutes les fractions du type k/(mn).

Posté par
carpediemre : Densité des moyennes ? 10-04-19 à 18:20

salut

j'ai suivi depuis le début mais n'ayant rien d'intéressant à dire je me suis abstenu ...

en espérant que ce qui suive le soit !!!

vous avez montrez qu'on peut ... déjà pas mal en se limitant à des moitié de ...

mais le milieu n'est qu'un cas particulier de barycentre ...

et si par exemple n, p, q et i, j et k sont des entiers non nuls alors on peut considérer tous les nombres

m = \dfrac 1 n \left( k \dfrac 1 p + (n - k) \dfrac 1 q \right) avec 0 < k < n ou m = \dfrac 1 n \left( i \dfrac 1 p + j \dfrac 1 q + (n - i - j)1 \right) avec 0 < i + j < n

ça doit faire un paquet de fractions irréductibles de la forme k/pq ... pour peu que l'on prenne p et q premiers ...

Posté par
carpediemre : Densité des moyennes ? 10-04-19 à 18:23

et aussi les m = \dfrac 1 n \left( k \dfrac 1 p + (n - k)1 \right) avec 0 < k < n lorsque q = 1 qui doit donner pas mal de fractions irréductibles de la forme k/p

Posté par
LittleFoxre : Densité des moyennes ? 10-04-19 à 18:31

@carpediem
C'est déjà assez compliqué comme ça avec juste n=2 et k = 1

@verdurin
Mon algo ne considère que les fractions avec dénominateur q pair. Car il semble que pour celles-ci on peut résoudre le problème en n'utilisant que les éléments de I 1/q, 2/q, 1/(q/2) et q/q.

Ce n'est pas le cas pour les dénominateur impairs. Ainsi pour obtenir 30/31 il faudra passer par p/62. Je trouve par contre que 60/62 = 30/31 est obtenable en 14 étapes.

Posté par
vhamre : Densité des moyennes ? 10-04-19 à 18:32

Bonsoir,

--> imod : je signalais plus une faute de langage qu'une faute d'orthographe, et je suis navré si je vous ai choqué. Mais des expressions incorrectes "je sais pas, je comprend pas" sont trop utilisées et ne doivent pas devenir langage courant ...

je développe 5/16  = 1/2 ( 1/2 + 1/8 ) en une étape et 27/31 en 9, en suivant la méthode de Littlefox qui opère en 13 étapes.27/31  = 1/2 ( 1 + 23/31 )
27/31  = 1/2 ( 1 + 23/31 )
23/31  = 1/2 ( 1 + 15/31 )
15/31  = 1/2 ( 1/2 + 29/62 )
29/62  = 1/2 ( 1/2 + 27/62 )
27/62  = 1/2 ( 1/2 + 23/62 )
23/62  = 1/2 ( 1/2 + 15/62 )
15/62  = 1/2 ( 1/3 + 14/93 )
14/93  = 1/2 ( 1/4 + 19/372 )
19/372  = 1/2 ( 1/10 + 1/465 )

Il me semble que l'on doive pouvoir prouver que toute fraction peut être développée en éléments de I, sans que le développement soit unique.

Posté par
Imodre : Densité des moyennes ? 10-04-19 à 19:36

@Vham

J'aurais accompagné la remarque d'un petit sourire mais ce n'est pas important

Il est clair que la décomposition est loin d'être unique , le problème c'est l'existence

Imod

Posté par
Imodre : Densité des moyennes ? 13-04-19 à 11:56

J'ai fini par résoudre complètement le problème , la solution est très jolie et je préfère ne révéler qu'un indice

 Cliquez pour afficher

Imod

Posté par
vhamre : Densité des moyennes ? 19-04-19 à 11:48

Bonjour,

Peut-être un petit sourire fera venir une belle solution

Posté par
Imodre : Densité des moyennes ? 19-04-19 à 17:54

Je prends ton sourire et je donne volontiers le mien en retour

Ce problème comme de nombreux autres évoqués dans cette rubrique a occupé mes journées et parfois mes nuits pendant longtemps . Je l'ai proposé à un autre site qui ne le diffusera que dans quelques temps , je ne peux donc pas livrer complètement ma solution mais je peux donner un deuxième indice .

 Cliquez pour afficher

Imod

PS : problèmes non résolus dans ce forum : doubler les côtés , 2X2 parts dans un carré , trouver la maire , 8 triangles semblables , demi-tour ...

PPS : j'en ai plein d'autres mais les journées ne sont pas assez longues .  

Posté par
vhamre : Densité des moyennes ? 19-05-19 à 12:08

Bonjour,

Peut-être la très jolie solution peut maintenant être dévoilée ?

Posté par
Imodre : Densité des moyennes ? 19-05-19 à 12:32

Malheureusement non

Le problème devrait paraître le 1er juin et les solutions le 1er juillet , ce qui te laisse quelques jours et quelques nuits pour y réfléchir .

Le plaisir est dans la recherche , non ?

La solution est jolie mais peu performante .

Imod

Posté par
vhamre : Densité des moyennes ? 19-05-19 à 21:18

c'est l'art de l'esquive !

Posté par
Imodre : Densité des moyennes ? 19-05-19 à 21:54

Tu n'es pas obligé de me croire

En attendant tu peux aussi essayer celui-là que j'ai déjà proposé ici .

Imod

Posté par
vhamre : Densité des moyennes ? 20-05-19 à 15:48

Bonjour,

Maintenant c'est un grand botté en touche
vers un problème trivial :
9 perles de chaque couleur dans les 9 parts du dessus,
quelle est la 10ème part qui contient 2 perles de chaque couleur ?

Posté par
Imodre : Densité des moyennes ? 20-05-19 à 16:43

Le dessin est bien entendu une illustration d'un problème général , on en restera là si tu le veux bien  

Imod

Posté par
vhamre : Densité des moyennes ? 01-07-19 à 18:04

Bonjour,

Du nouveau depuis " imod, le 19-05-19 12:32 " ?  

Posté par
Imodre : Densité des moyennes ? 01-07-19 à 18:23

J'ai bien une réponse Vham mais elle risque de ne pas te satisfaire

Le problème devait paraître ici au moins de juin mais il en a été décidé autrement . Il est bien paru mais en juillet et il va falloir attendre au mieux le 1er septembre pour une réponse ( si le temps te semble trop long , je peux t'envoyer ma solution en MP ) .

Imod

Posté par
Imodre : Densité des moyennes ? 01-07-19 à 18:53

Un petit complément , si tu fouilles un peu le lien précédent , tu auras deux réponses à mon problème du 19/05/19  que tu avais expédié d'un revers de main .

On ne va pas se fâcher pour si peu , on a tous nos  qualités et nos faiblesses .

Je ne suis pas un affabulateur

Imod

Posté par
vhamre : Densité des moyennes ? 01-07-19 à 20:43

Bonsoir,

--> imod : je n'ai jamais pensé que vous n'eussiez pas une solution.
J'ai réagi par curiosité (solution très jolie)
et je suis patient (trop opiniâtre ?).

Posté par
Imodre : Densité des moyennes ? 02-07-19 à 19:20

J'ai un peu sur réagi , je vais réfléchir à un indice qui ne dévoile pas tout

Imod  

Posté par
weierstrassre : Densité des moyennes ? 22-07-19 à 12:14

Voilà une solution, surement pas la plus simple, je serait curieux de connaître la tienne, il y a surement plein de manière de démontrer ce résultat

 Cliquez pour afficher

Posté par
Imodre : Densité des moyennes ? 22-07-19 à 22:49

Bonjour Weirstrass

Je n'ai pas eu le temps de regarder ta démonstration en détail mais j'ai l'impression en suivant ton exemple qu'il y a un problème avec par exemple : 15/31 , non ?

Imod

Posté par
weierstrassre : Densité des moyennes ? 23-07-19 à 00:38

 Cliquez pour afficher

Posté par
Imodre : Densité des moyennes ? 23-07-19 à 10:25

D'accord Weirstrass

Je n'avais vu qu'un élément de la simplification et alors la suite avait un numérateur qui bouclait indéfiniment sans jamais atteindre 1 .

La méthode que j'utilise n'est pas constructive comme la tienne mais utilise aussi les puissances de 2 .

Je donne uniquement le schéma  . On cherche à remonter les moyennes se finissant par le rationnel en question  . On privilégie les moyennes avec 1 et quand c'est impossible ( c'est à dire quand le terme est inférieur à 0,5 ) , on considère qu'il est la moyenne de x-1/q et 1/q c'est à dire qu'il provient de son double . La suite va forcément boucler . Si dans la boucle il y a un 1 au numérateur , c'est fini , sinon on affine la suite en cherchant un antécédent du premier élément faisant moyenne avec 1/p au lieu de 1 et ainsi de suite ...

Imod  

Posté par
weierstrassre : Densité des moyennes ? 23-07-19 à 19:35

Je ne comprend pas très bien ta méthode.

Citation :
sinon on affine la suite en cherchant un antécédent du premier élément faisant moyenne avec 1/p au lieu de 1 et ainsi de suite

Tu veux dire trouver un x tel que x/q = 1/2(p/q + 1/p) ?
Je ne vois pas comment c'est possible, à moins que p divise q, mais du coup  la fraction est simplifiable...
Ou est-ce une moyenne avec 1/q? dans ce cas, l'antécédent trouvé et le même que celui qui terminait la boucle.
De plus, je ne vois pas en quoi trouver une décomposition pour l'antécédent aide à trouver une solution pour la fraction de base...
J'ai sans doute mal compris tes explications...

Posté par
Imodre : Densité des moyennes ? 23-07-19 à 19:46

Il est assez normal que tu ne comprennes pas tout , le problème m'est un peu sorti de la tête depuis un moment et si mes explications sont un peu vaseuses , c'est que j'ai un perdu le ressort qui fait marcher l'affaire .

J'essaie de détailler ce soir si la canicule ne me liquide pas

Imod

Posté par
weierstrassre : Densité des moyennes ? 23-07-19 à 19:48

J'avais aussi aborder une autre piste de recherche:

On sait que si q est impair et que p divise (q+1)/2, soit \dfrac{p}{q} =  \dfrac{p}{2kp-1}, alors  on pouvait réécrire la fraction comme \dfrac{p}{kp-1} = \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k(2kp-1)}\right)
En m'inspirant de l'identité bien connue dans le domaine des fractions égyptiennes :
\dfrac{p}{q} = \dfrac{p}{q+1} + \dfrac{p}{q(q+1)}\right), que l'on peut adapter à notre problème selon les cas pairs et impairs, j'avais essayé de montrer que l'on pouvait forcer un certain facteur à apparaître pour q+1 en augmentant légèrement le dénominateur, mais je n''avais pas réussi à conclure...

Posté par
Imodre : Densité des moyennes ? 01-08-19 à 12:17

Réponse un peu tardive ( désolé Weierstrass )

J'ai retrouvé ma solution mais elle est issue d'une recherche impossible à expliciter ici .  Je  pense avoir résumé l'essentiel , je pourrais au besoin scanner ma réponse mais bon ,
elle apparaîtra sur le site Diophante à la rentrée .

Imod

PS : De toute façon ma solution est loin d'être aussi simple que la tienne

  


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