Niveau exercices

Dépanneuse

Posté par
flight 01-08-21 à 21:09

Bonsoir;

Je vous propose l'exercice suivant :

Un car effectue quotidiennement un trajet entre deux villes A et B
distantes de 200kms , ce car peut tomber en panne sur le trajet et le lieu de cette panne noté par la variable aléatoire X obéit à une loi uniforme sur [0,200kms] , Pour intervenir rapidement en cas de panne , une dépanneuse est positionnée à une distance "d" de la ville A, si on note Y =|d-X| la variable aléatoire égale à la distance d'intervention ,
Quelle est la loi de Y et quelle est son espérance ?

Posté par re : Depannaeuse 01-08-21 à 21:10

Si un modo pouvait corriger le titre je le remercie à vouloir ecrire vite sur un clavier

> glapion : oui, fait.

Posté par re : Dépanneuse 04-08-21 à 01:44

La densité de probabilité de Y est

$f(t) = \begin{cases} 2/200 & \text{ si } 0 \le t \le d \\ 1/200 & \text{ si } d < t \le 200-d \\ 0 & \text{ sinon } \end{cases}$

On a pris la densité de X décalée de -d et repliée sur elle même pour les valeurs négative.

L'espérance de Y est donnée par

$\int_{0}^{d}{t\frac{2}{200}dt} + \int_{d}^{200-d}{t\frac{1}{200}dt} \\ = [\frac{t²}{200}]_0^d+[\frac{t²}{400}]_d^{200-d} \\ = \frac{d²}{200} + \frac{(200-d)²}{400}-\frac{d²}{400} \\ = \frac{(200-d)²+d²}{400} = 50 + \frac{(100-d)²}{200}$

Posté par re : Dépanneuse 04-08-21 à 15:02

Salut Littlefox, j avais plutôt pensé à un raisonnement comme suit :
On cherche P(Yy) =
P(|d-X|y) =P(d-yXd+y) =P(Xy+d) - P(Xd-y) =y/100
Soit P(Yy) =y/100

Posté par re : Dépanneuse 04-08-21 à 15:02

Avec P(Xx) =x/200

Posté par re : Dépanneuse 04-08-21 à 17:04

Mui, on peut utiliser la fonction de répartition au lieu de la densité de probabilité. C'est pas très différent.

Mais ta fonction de répartition est fausse (ou au moins incomplète).

$P(X\le x) = \begin{cases} 0 & \text{ si } x<0 \\ x/200 & \text{ si } 0 \le x < 200 \\ 1 & \text{ si } 200 \le x \end{cases}$

Ce qui donne:

$P(Y\le y) = \begin{cases} 0 & \text{ si } y < 0 \\ y/100 & \text{ si } 0 \le y < d \\ d/200 + y/200 & \text{ si } d \le y < 200 - d \\ 1 & \text{ si } 200-d \le y \end{cases}$

Ce qui correspond bien à ma fonction de répartition.

D'ailleurs on ne peut écrire $P(d-y \le X \le d+y) =P(X \le y+d) - P(X \le d-y)$ que sur l'interval $y \in \{0, d\}$

C'est plutôt $P(d-y \le X \le d+y) = P(d-y \le d+y) * (P(X \le y+d) - P(X \le d-y))$

Ça me semble plus simple de réfléchir en terme de densité de probabilité.