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dépliage sur hyperplan

Posté par Profil amethyste 28-03-17 à 00:43

Bonjour
et merci d'avance
ma question est :
Existe t-il en maths un nom pour le dépliage d'un n-simplexe après l'avoir découpé
je m'explique :
j'ai un n-simplexe donc constituant une base affine de E=R^n donc représenté par une famille de n+1 points affinements indépendants (A_i)_{i \in \mathbb {N}_n}
et on posera F un hyperplan de E

comment s'appellerai la représentation de ce  n-simplexe par une famille  de points de F notée (B_i)_{i \in \mathbb {N}_u} selon  une application \varphi((A_i)_{i \in \mathbb {N}_n})= (B_i)_{i \in \mathbb {N}_u}
avec u\in \mathbb {N} en fait ici je ne détaille pas la valeur de u pour ne pas saouler le répondant
et telle que les n-1 premiers points B_i de  (B_i)_{i \in \mathbb {N}_u} soient affinements indépendants
en fait ici mon idée est de découper mon  n-simplexe selon ses n-1-"faces"("faces" entre guillemets car de dimensions n-1) et le déplier sur un hyperplan

Posté par
verdurinre : dépliage sur hyperplan 28-03-17 à 01:09

Bonsoir,
je ne comprend pas vraiment ton problème.
Mais il est certainement possible de « déplier » un n-simplexe dans un hyper-plan.
Et on a alors  n+1 « faces » qui sont des (n-1)-simplexes.

Par exemple un tétraèdre  (3-simplexe) peut se déplier en quatre triangles (2-simplexes).

Posté par Profil amethystere : dépliage sur hyperplan 28-03-17 à 01:14

merci Verdurin
il n'y a pas de problème ma question est :
comment on appelle ce dépliage en maths
ça a un nom?

Posté par
verdurinre : dépliage sur hyperplan 28-03-17 à 01:37

Je ne sais pas.

Posté par Profil amethystere : dépliage sur hyperplan 28-03-17 à 02:08

bon ça fait rien camarade Verdurin
bah alors j'appellerai ça représentation kirographique d'un n-simplexe
dépliage sur hyperplan

Posté par Profil amethystere : dépliage sur hyperplan 28-03-17 à 17:23

re-bonjour
j'ai une démo(longue)qui utiise ce "dépliage" mais si elle est exacte alors elle est connue
auriez vous un lien qui la cite ou connaîtriez vous son nom?
---
Description de cette conjecture

pour un sommet A d'un n-simplexe on se donne le point A^{\prime} qui appartient à l'hyperplan auxquels appartiennent les autres sommets de ce n-simplexe et tel que la droite passant par A et  A^{\prime} soit orthogonale à cet hyperplan
ALORS en considérant cette représentation par découpe sur les hyperplans auquel appartient le sommet A puis par le dépliage de ce  n-simplexe sur l'hyperplan auquel appartient le  point A^{\prime} et ici
-on notera A_1,...,,A_n  les n  points qui représentent le sommet A sur le dépliage du  n-simplexe
- on notera A_1^{\prime},...,,A_n^{\prime}  les n  points et   \Delta_1,...,\Delta_n  les n droites tels que la droite \Delta_i   passant par les points A_i et  A_i^{\prime} est orthogonale  au pli (on remarque que la dimension de ce pli est toujours de n-2)opposé au point A_i   sur cette représentation  de ce  n-simplexe
ALORS
les droites \Delta_1,...,,\Delta_n  sont toujours sécantes en  A^{\prime}

Posté par Profil amethystere : dépliage sur hyperplan 28-03-17 à 17:49

...bon j'écris ma démo sur mon cahier
je ne vois pas d'erreur donc forcément ce théo est connu mais oú est-il ?

Posté par Profil amethystere : dépliage sur hyperplan 30-03-17 à 00:24

Bonsoir Verdurin

C'est une origami et l'hyperplan sert de papier sur lequel sont tracés les pliages
comme quoi ça avait bien un nom
sinon pour le théorème écrit là, 28-03-17 à 17:23
je ne connais pas son nom
bon sinon pour un exemple avec un tétraèdre et son origami je dois encore calculer des coordonnées barycentriques
je reviens

Posté par
verdurinre : dépliage sur hyperplan 30-03-17 à 00:39

Bonne nuit amethyste.
J'ai un peu de mal à voir ce que que tu veux démontrer.
Peux tu préciser dans le cas d'un tétraèdre (3-simplexe) ?
Si possible avec un dessin.

D'avance merci.

Posté par Profil amethystere : dépliage sur hyperplan 30-03-17 à 07:38

Bonjour Verdurin.

Citation :
Peux tu préciser dans le cas d'un tétraèdre (3-simplexe) ?
Si possible avec un dessin.

ok alors j'ai pris un tétraèdre de sommets A_0,A_1,A_2,A_3 et tel que
ses longueurs d'artes sont données selon :
A_0A_1=\sqrt {6}
A_0A_2=1
A_0A_3=\sqrt {41}
A_1A_2=3  
A_1A_3=\sqrt {35}
A_2A_3=\sqrt {34}

sur le plan \mathcal {P} (c'est l'hyperplan dont parle le théorème) engendré par les trois points A_0,A_1,A_2
j'ai construit une image de ce tétraèdre(voir l'image ci-dessous) telle que
O appartiens à  \mathcal {P} et il est l'image de A_0
A appartiens à  \mathcal {P} et il est l'image de A_1
B appartiens à  \mathcal {P} et il est l'image de A_2
C,D,E appartiennent à \mathcal {P} et sont des images de A_3
et tels que
OA=A_0A_1=\sqrt {6}  
OB=A_0A_2=1  
OC=OE=A_0A_3=\sqrt {41}
AB=A_1A_2=3  
AE=AD=A_1A_3=\sqrt {35}
BD=BC=A_2A_3=\sqrt {34}

En se plaçant dans ce plan \mathcal {P} et en considérant la base affine définie par la famille (O,A,B)
on obtient les coordonnées barycentriques normalisées suivantes
O=(1:0:0)
A=(0:1:0)
B=(0:0:1)
C=(-3+2\sqrt {5} :-\sqrt {5} :4-\sqrt {5} )
D=(-\sqrt {58} :\frac {4}{9}+\frac {2\sqrt {58}}{9}:\frac {5}{9}+\frac {7\sqrt {58}}{9})
E=(7\sqrt {\frac {7}{6}}:1-\sqrt {\frac {7}{6}}:-\sqrt {42})
L=(0:\frac {4}{9}:\frac {5}{9}) appartiens à la droite passant par A et B et tel que le segment \overline {LD} est perpendiculaire à cette droite là
M=(-3:0:4) appartiens à la droite passant par O et B et tel que le segment \overline {MC} est perpendiculaire à cette droite là
N=(-7:2:6) est le point sécant aux trois droites passant par les couples de points respectivement (E,A) (car ici le segment \overline {EA} est perpendiculaire au segment \overline {OA})
et (L,D) et (M,C)

pour la figure ci-dessous j'ai considéré le plan  \mathcal {P}=\mathbb {R}^2 et le repère canonique
et j'ai opté pour les coordonnées cartésiennes par rapport à ce repère canonique suivantes
O=( 0 , 0 )
A=( \sqrt {6},0 )
B=(\frac {-1}{\sqrt {6}} , \sqrt {\frac {5}{6}})
C=( -2\sqrt {\frac {2}{3}}-5\sqrt {\frac {5}{6}},2\sqrt {\frac {10}{3}}-\frac {5}{\sqrt {6}} )
D=( \frac {19}{9\sqrt {6}}+\frac {25\sqrt {58}}{81\sqrt {6}},\frac {5}{9}\sqrt {\frac {5}{6}}+\frac {35\sqrt {290}}{81\sqrt {6}} )
E=(\sqrt {6} ,-\sqrt {35} )
L=( \frac {19}{9\sqrt {6}},\frac {5}{9}\sqrt {\frac {5}{6}} )    
M=(-2\sqrt {\frac {2}{3}} , 2\sqrt {\frac {10}{3}})  
N=( \sqrt {6}, \sqrt {30})

dépliage sur hyperplan

Posté par
verdurinre : dépliage sur hyperplan 31-03-17 à 21:41

Bonsoir amethyste.

Si je comprends bien N est la projection orthogonale de A3 sur le plan (A0,A1,A2).

Et tu généralises ce résultat en dimension quelconque.

Je ne donnais malheureusement pas le nom de ce théorème.
En fait j'ai beaucoup de mal avec les noms propres.

Pour savoir si j'ai bien compris, une figure :
dépliage sur hyperplan
Les points D, E et F sont les « images » du quatrième sommet et les droites en rouges sont respectivement perpendiculaires aux côtés du triangle ABC.

Posté par Profil amethystere : dépliage sur hyperplan 03-04-17 à 03:09

Bonsoir Verdurin

en fait ce qui m'arrange dans tout ça  c'est que ce point N c'est la projection orthogonale d'un des sommets du n-simplexe sur l'hyperplan engendré par ses autres sommets




Posté par Profil amethystere : dépliage sur hyperplan 13-10-17 à 01:25

un exemple(concret) d'utilisation
  
soit (ABCD) un tétraèdre dont on ne connait que les distances a,b,c,k,l,m selon
a=BC
b=AC
c=AB
k=AD
l=BD
m=CD
______________________
On pose sans les calculer
0<\alpha < 180°
0<\theta < 180°
0<\varphi < 180° tels que
______________________

cos(\alpha)=\frac {b^2+c^2-a^2}{2bc}$ et $sin(\alpha)=\sqrt {1-cos^2(\alpha)}

cos(\theta)=\frac {c^2+k^2-l^2}{2ck}$ et $sin(\theta)=\sqrt {1-cos^2(\theta)}

cos(\varphi)=\frac {b^2+k^2-m^2}{2bk}$ et $sin(\varphi)=\sqrt {1-cos^2(\varphi)}

alors on peut proposer

A=\begin {pmatrix} 0   \\ 0  \\ 0  \end {pmatrix}

B=\begin {pmatrix}  c  \\  0 \\  0 \end {pmatrix}

C=\begin {pmatrix}  b.cos(\alpha)  \\ b.sin(\alpha)  \\ 0  \end {pmatrix}

D=\begin {pmatrix} k.cos(\theta)   \\ \frac {k}{sin(\alpha)}.\begin {pmatrix} cos(\varphi)-cos(\alpha)cos(\theta) \end {pmatrix}  \\ \frac {k}{sin(\alpha)}.\sqrt {1-cos^2(\alpha)-cos^2(\theta)-cos^2(\varphi)+2cos(\alpha)cos(\theta)cos(\varphi) }  \end {pmatrix}

Posté par
lafol Moderateurre : dépliage sur hyperplan 13-10-17 à 17:18

Bonjour
ton "dépliage après découpage", en bon français, ça s'appelle un patron, non ?

Posté par Profil amethystere : dépliage sur hyperplan 13-10-17 à 19:16

Bonjour Lafol

oui c'est un patron (mais il y a sept mois je ne savais pas qu'en géométrie on utilisait ce mot lié à la haute couture qui "patronnent" les modèles et les obligent à manger peu et les initient à la cocaiine qui comme chacun sait est un coupe-faim)


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