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Dérivabilité
Bonsoir j'ai un exo sur la dérivabilité à rendre demain ..j'ai tout essayé mais j arrive même pas à faire la première question...quelqu'un pourrait il m aider svp
Énoncé
Soit 𝑓 une fonction définie dans un voisinage de 𝑎 ∈ ℝ et dérivable en 𝑎.
Calculer lim
ℎ→0𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎−ℎ)/2ℎ
.
2) Soit 𝑓:𝐼 → ℝ dérivable. Montrer que : 𝑓 croissante sur I 𝑓'(𝑥) ≥ 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝐼.
3) Soit 𝑓: ℝ → ℝ dérivable. Montrer que si 𝑓′ a un extremum local en 𝑥0 ∈ ℝ, alors la courbe de
𝑓 traverse sa tangente au point d'abscisse 𝑥0. (Point d'inflexion.)
Bonsoir, et si tu écrivais :
(f(a+h) - f(a-h))/(2h) = (1/2) [ ( f(a+h) - f(a))/h + (f(a-h) - f(a))/(-h) ]
est-ce que ça aiderait ?
Mais si, ça marche :
(f(a+h)-f(a-h))/(2h) = (1/2)[(f(a+h)-f(a))/h + (f(a)-f(a-h))/h]
Quand h -> 0, (f(a+h)-f(a))/h tend vers f'(a)
Quand h -> 0, (f(a)-f(a-h))/h tend aussi vers f'(a)
Le deuxième est moins classique, c'est simplement la limite du coefficient directeur de la droite passant par ((a,f(a)) et (a-h, f(a-h)) quand a -> 0
Quand f est dérivable, ces deux limites à gauche et à droite sont égales entre elles et égales à f'(a)
Donc la limite est (1/2)(2f'(a)) = f'(a)
C'est une expression dérivée en a comme une limite symétrique autour de a.
C'est ce que j'ai essayé de t'expliquer :
Le deuxième est moins classique, c'est simplement la limite du coefficient directeur de la droite passant par ((a,f(a)) et (a-h, f(a-h)) quand a -> 0
Quand f est dérivable, ces deux limites à gauche et à droite sont égales entre elles et égales à f'(a)
Dans l'expression :
lim h-> 0+ (f(a+h)-f(a)/h)
Tu peux changer h en -h, cela donne :
lim -h-> 0+ (f(a-h)-f(a)/(-h)
Ou encore :
lim h-> 0- (f(a)-f(a-h))/h
f étant dérivable en a, les limites :
lim h-> 0+ (f(a)-f(a-h))/h
et
lim h-> 0- (f(a)-f(a-h))/h
sont égales et égales à f'(a)
Oups, il fallait lire :
la limite du coefficient directeur de la droite passant par ((a,f(a)) et (a-h, f(a-h)) quand h -> 0
Merci lehibou vos explications m'ont été d'une grande aide merci encore
C'était avec plaisir !
N'hésite pas à demander si tu as besoin pour la suite
f'(x) > 0 sur IC'est probablement f'(x) 
0
Pour montrer cela, pars de la définition de la dérivée :
f'(x) lim h->0 (f(h+h)-f(x))/h
Supposons par exemple h > 0
Avec l'hypothèse que f est croissante, que peux-tu dire du signe de (f(h+h)-f(x))/h ?
Il faut être un peu plus rigoureux.
Ce que tu peux dire c'est que, f étant croissante, tu as (f(h+h)-f(x))/h 0
Pour être très rigoureux, il faudrait traiterséparément les cas h > 0 et h < 0
Ensuite, f étant continue, l'inégalité se conserve par passage à la limite.
Donc lim h-> 0 (f(h+h)-f(x))/h 0
f'(x) 0
Pour le 3), es-tu certaine de ton énoncé ?
Il est bien possible qu'il manque une information...
D'accord je comprend maintenant
Pour la troisième question il y a pas d erreur de copie à moins que l'auteur ne se soit trompé
Désolé je ne suis pas très réactif ce soir, je dois faire autre chose en même temps, mais je vais continuer à te suivre
Pas de problème je comprends je te suis vraiment reconnaissante tu m'as été d'une grande aide encore merci de m'avoir consacré ton temps bonne soirée 😊
Tu n'as pas répondu à ma question :
Aucune mention de l'existence de la dérivée seconde f" ?
On va faire comme si elle existait, et on verra après si on peut se passer de cette hypothèse.
Disons qu'une fonction dérivable que je vais appeler g possède un maximum local en un point x = x0, que peux-tu dire du signe de g' autour de x0 ?
Exact
Plus précisément, g' est positive à gauche de x0 et négative à droite.
Maintenant, si on dit que g c'est f', comme dans ton énoncé, on en déduit que la dérivée de f', donc f" est positive à gauche de x0 et négative à droite.
A partir de là, as-tu étudié le chapitre sur la convexité ?
Connais-tu la position d'une courbe par rapport à une tangente selon le signe de f" ?
Bonjour
Oui j'ai etudié la convexité
Si f"(x0)<0 la courbe de f est en dessous de sa tangente
Si f"(x0)>0 la courbe de f est au dessus de sa tangente
Si f"(x0)= 0 la tangente traverse la courbe au point d'abscisse x0
Il faut que tu reviennes à la question posée :
3) Soit ?: ? ? ? dérivable. Montrer que si ?? a un extremum local en ?0 ? ?, alors la courbe de
? traverse sa tangente au point d'abscisse ?0. (Point d'inflexion.)
Avec ce qu'on a échangé jusque là, peux-tu conclure comme on te le demande ?
Reprends la suite des posts...
En conclusion puisque la dérivée seconde s'annule en x0 alors on a un point d inflexion d abscisse x0
La courbe traverse la tangente au point d abcisse x0
En conclusion puisque la dérivée seconde s'annule en x0 alors on a un point d inflexion d abscisse x0
L'important n'est pas qu'elle s'annule, mais qu'elle change de signe.
x < x0, f" > 0, courbe au-dessus de la tangente
x > x0, f" < 0, courbe en-dessous de la tangente
en x0, la courbe traverse la tangente
D'accord je comprend maintenant merci beaucoup Lehibou tes explications sont vraiment claires à la prochaine
Je t'en prie.
Note que tout ça n'a été possible qu'en supposant l'existence de f", ça serait donc intéressant de vérifier que c'est bien un oubli de l'énoncé...
Oui c'est vrai je vais faire des recherches et essayer de trouver le texte original
Si j'ai du nouveau concernant cela je le posterai
Bonne soirée
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