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Derivabilité

Posté par
Crei 23-01-23 à 08:46

Bonjour besoin d,aide, je ne vois serieusement pas comment faire
Soit \theta \in C^{2}([0,1],R) telle que\theta (0)\geq 0; \theta (1)\geq 0 et x\in[0,1], \theta ^{''}(x)\leq 2(\sqrt{\theta (0)}+\sqrt{\theta(1)})^2
Montrer que \theta est à valeur positive

Posté par
Creire : Derivabilité 23-01-23 à 11:13

Le prof dit de penser à la convexité

Posté par
phyelec78re : Derivabilité 23-01-23 à 17:53

Bonjour,

Voici quelques définitions sur les fonctions qu'il faut que vous sachiez :

f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée f ' est croissante sur I.
Si f ''(x) 0 sur I, alors f est convexe sur I.

A vous de jouer

Posté par
Ulmierere : Derivabilité 23-01-23 à 19:58

Voici une piste pour démarrer sur ce que dit phyelec78

intégrer entre x et y ton inégalité sur \theta'' et en déduire que \theta' est strictement croissante.

Posté par
verdurinre : Derivabilité 23-01-23 à 20:42

Bonsoir,
pour contredire Ulmiere : on prend \theta(x)=x(1-x)+1

Posté par
Ulmierere : Derivabilité 23-01-23 à 20:54

Tu as raison, j'ai lu trop vite \geqslant à la place de \leqslant, mais même comme ça, la conclusion serait la stricte décroissance et non la stricte croissance

Posté par
GBZMre : Derivabilité 23-01-23 à 20:56

Bonsoir,
D'accord avec verdurin, la piste d'Ulmière est un cul-de-sac.
Une piste qui marche :
Une fonction concave qui vaut 0 en 0 et 0 en 1, que peut-on dire de son signe sur [0,1] ?
On peut essayer d'utiliser l'hypothèse sur \theta'' pour se ramener à cette situation. Bien sûr, \theta'' n'est pas négative ou nulle, mais si on soustrait de \theta une fonction habilement choisie ?
Conseil : pour ne pas obscurcir les calculs, poser a=\sqrt{\theta(0)} et b=\sqrt{\theta(1)}.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Derivabilité 23-01-23 à 21:01

Bonsoir

Une idée :

\boxed{1} Trouver a et b tels que la fonction \Large\boxed{F:x\mapsto\theta(x)-\left(\sqrt{\theta(0)}+\sqrt{\theta(1)}\right)^2x^2+ax+b} vérifie \Large\boxed{F(0)=F(1)=0}.


\boxed{2} Utiliser la concavité de F pour montrer que \Large\boxed{\forall x\in[0,1]~,~F(x)\geqslant0}.


\boxed{3} En déduire que \Large\boxed{\forall x\in[0,1]~,~\theta(x)\geqslant0}. sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
aya4545re : Derivabilité 24-01-23 à 13:31

bonjour
1)  b=-\theta(0)\leq 0 et a=2(\sqrt{\theta(0)\times\theta(1)}+\theta(0))\geq 0
2)on a \forall x \in [01]    F^{''}(x)  \geq  0 car \forall  x\in[0,1], \theta ^{''}(x)\leq 2(\sqrt{\theta (0)}+\sqrt{\theta(1)})^2
donc Fconvexe sur [01] et par conséquent C_F est au dessus de la corde [O(0,0) A(1,0)]ce qui  donne le résultat
3)on procède par absurde on suppose qu il existe
x_0 \in [01]  \theta (x_0)<0 et on trouve que
F(x_0)<0 absurde


mais vraiment je me demande comment elhor_abdelali a pensé à la  construction de la fonction F ?

Posté par
Ulmierere : Derivabilité 24-01-23 à 17:07

Citation :
je me demande comment elhor_abdelali a pensé à la  construction de la fonction F ?


L'objectif est de se retrouver avec une fonction convexe ou concave, pour utiliser l'indice. Donc une dérivée seconde négative, pour tout x.
Tu as déjà une inégalité qui y ressemble beaucoup : \theta'' \leqslant C, mais C n'est pas égal (a priori) à 0.


La dérivation est une opération linéaire, donc pour remplacer \theta, qui ne convient pas, on pose F = \theta - g, avec g une fonction deux fois dérivable.
Ce faisant F'' = \theta'' - g'' sera négative si et seulement si \theta'' \leqslant g'' et trouver une fonction g de dérivée seconde égale à C, c'est très facile, il suffit de prendre par exemple g = x\mapsto C\dfrac{x^2}{2}.

Mais si tu fais ça, F sera bien de dérivée seconde négative, mais ne vérifiera pas forcément les autres hypothèses, de positivité de F(0) et F(1).

Donc on prend une fonction g un poil plus compliquée : g = x\mapsto C\dfrac{x^2}{2} + ax +b. La fonction affine qui traine derrière est de dérivée seconde nulle, donc ne changera pas la valeur de F'' par rapport à la précédente, mais avec les coefficients a et b, on a désormais la marge de manoeuvre nécessaire pour imposer F(0) = 0 = F(1) (système linéaire de deux équations, deux inconnues)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Derivabilité 24-01-23 à 17:25

Bonjour aya4545

Citation :
donc F convexe sur [0,1] et par conséquent C_F est au dessus de la corde ...

je suppose que tu as voulu dire concave

\boxed{3} Sans l'absurde, avec a et b que tu as calculé on a directement :

\large\boxed{\forall x\in[0,1]~,~\theta(x)\geqslant\left((\sqrt{\theta(0)}+\sqrt{\theta(1)})x-\sqrt{\theta(0)}\right)^2} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
Creire : Derivabilité 24-01-23 à 19:24

Ulmiere @ 24-01-2023 à 17:07

Citation :
je me demande comment elhor_abdelali a pensé à la  construction de la fonction F ?


L'objectif est de se retrouver avec une fonction convexe ou concave, pour utiliser l'indice. Donc une dérivée seconde négative, pour tout x.
Tu as déjà une inégalité qui y ressemble beaucoup : \theta'' \leqslant C, mais C n'est pas égal (a priori) à 0.


La dérivation est une opération linéaire, donc pour remplacer \theta, qui ne convient pas, on pose F = \theta - g, avec g une fonction deux fois dérivable.
Ce faisant F'' = \theta'' - g'' sera négative si et seulement si \theta'' \leqslant g'' et trouver une fonction g de dérivée seconde égale à C, c'est très facile, il suffit de prendre par exemple g = x\mapsto C\dfrac{x^2}{2}.

Mais si tu fais ça, F sera bien de dérivée seconde négative, mais ne vérifiera pas forcément les autres hypothèses, de positivité de F(0) et F(1).

Donc on prend une fonction g un poil plus compliquée : g = x\mapsto C\dfrac{x^2}{2} + ax +b. La fonction affine qui traine derrière est de dérivée seconde nulle, donc ne changera pas la valeur de F'' par rapport à la précédente, mais avec les coefficients a et b, on a désormais la marge de manoeuvre nécessaire pour imposer F(0) = 0 = F(1) (système linéaire de deux équations, deux inconnues)


Merci pour cette explication

Posté par
Creire : Derivabilité 24-01-23 à 19:24

elhor_abdelali @ 23-01-2023 à 21:01

Bonsoir

Une idée :

\boxed{1} Trouver a et b tels que la fonction \Large\boxed{F:x\mapsto\theta(x)-\left(\sqrt{\theta(0)}+\sqrt{\theta(1)}\right)^2x^2+ax+b} vérifie \Large\boxed{F(0)=F(1)=0}.


\boxed{2} Utiliser la concavité de F pour montrer que \Large\boxed{\forall x\in[0,1]~,~F(x)\geqslant0}.


\boxed{3} En déduire que \Large\boxed{\forall x\in[0,1]~,~\theta(x)\geqslant0}. sauf erreur de ma part bien entendu


Merci à vous

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Derivabilité 24-01-23 à 19:43

C'est un plaisir Crei

Posté par
aya4545re : Derivabilité 24-01-23 à 22:14

merci Crei pour cet exercice qui est  intéressant
aussi mille merci pour phyelec78 ,Ulmiere ,GBZM,verdurin ,elhor_abdelali grâce a leur explications ils l ont rendu vraiment passionnant

Posté par
Creire : Derivabilité 24-01-23 à 22:25

question , supposant qu'on avait pas donner l'indice de la convexité , qu'est ce qui aurait pu m'amener sur ce chemin?

Juste la derivée seconde ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Derivabilité 25-01-23 à 00:00

Oui Crei même sans l'indice du prof la donnée : \forall x\in[0,1],\theta ^{''}(x)\leqslant 2(\sqrt{\theta (0)}+\sqrt{\theta(1)})^2

peut aussi se lire \forall x\in[0,1],\left(\theta(x)-2(\sqrt{\theta (0)}+\sqrt{\theta(1)})^2x^2\right)''\leqslant0

ou encore \forall x\in[0,1],\left(\theta(x)-2(\sqrt{\theta (0)}+\sqrt{\theta(1)})^2x^2+ax+b\right)''\leqslant0 (pour tous réels a et b)


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