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dérivabilité de Arccos((1-x²)/(1+x²)) en 0

Posté par
garnouille 03-11-19 à 16:48

Bonjour

voici l'énoncé qui me pose une difficulté :

f(x)=arccos(\frac{1-x^2}{1+x^2})

La fonction est paire et définie sur  

f'(x)=\frac{-2}{1+x^2} \, si\, x>0 \:\; \; et\: \; \; f'(x)=\frac{2}{1+x^2} si\, x<0

la question sur laquelle je bloque est : étudier la dérivabilité en 0
mon travail :
la limite de f'(x)  en 0+ est 2
la limite de f'(x)  en 0- est -2
2-2 , la fct n'est donc pas dérivable en 0

faut-il ici étudier la limite du taux d'accroissement t \frac{Arcos(\frac{1-x^2}{1+x^2})}{x} quand x tend vers 0 ?
si oui, je n'ai aucune idée...

encore une question : la fct est-elle dérivable à droite (et à gauche) en 0 ?

Posté par
matheuxmatoure : dérivabilité de Arccos((1-x²)/(1+x²)) en 0 03-11-19 à 16:53

bonjour

normalement, pour étudier une dérivabilité, on étudie le taux d'accroissement...

et je ne comprends pas bien tes valeurs de dérivées ...

Posté par
luzakre : dérivabilité de Arccos((1-x²)/(1+x²)) en 0 03-11-19 à 16:57

Bonsoir !
Savoir que les limites de f' sont différentes permet seulement de dire que f' n'a pas de limite en 0. Tu conclus trop vite à la non dérivabilité !

Puisque tu as trouvé les limites à gauche et à droite de la dérivée, à condition d'avoir une fonction continue du bon côté, tu as automatiquement(*) trouvé les dérivées à droite et à gauche  et tu peux conclure.

(*) C'est un théorème que tu dois connaître et facile à démontrer si tu ne le connais pas : pense à la formule des accroissements finis !

Posté par
matheuxmatoure : dérivabilité de Arccos((1-x²)/(1+x²)) en 0 03-11-19 à 16:59

à condition de savoir dériver correctement...

Posté par
garnouillere : dérivabilité de Arccos((1-x²)/(1+x²)) en 0 03-11-19 à 17:14

f=Arccos(u)     donc   f'=\frac{-u'}{\sqrt{1-u^2}}

u(x)=\frac{1-x^2}{1+x^2}\; \; et \; \; u'(x)=\frac{-4x}{(1+x^2)^2}

f'(x)=\frac{-(-4x)}{(1+x^2)^2}\times \sqrt{\frac{(1+x^2)^2}{4x^2}}=\frac{2x}{\left|x \right|(1+x^2)}

erreur de ma part :

f'(x)=\frac{-2}{1+x^2} \, si\, x<0 \:\; \; et\: \; \; f'(x)=\frac{2}{1+x^2} si\, x>0

une piste pour la limite du taux d'accroissement \frac{Arcos(\frac{1-x^2}{1+x^2})}{x}  en 0 ?

Posté par
luzakre : dérivabilité de Arccos((1-x²)/(1+x²)) en 0 03-11-19 à 17:19

Déjà répondu : formule des accroissements finis.

Posté par
matheuxmatoure : dérivabilité de Arccos((1-x²)/(1+x²)) en 0 03-11-19 à 17:22

peut-être avec

\dfrac{\arccos\left(\dfrac{1-x^2}{1+x^2}\right)}{\dfrac{1-x^2}{1+x^2} - 1} \times \dfrac{\dfrac{1-x^2}{1+x^2} - 1} {x}

et la limite de (arccos(u) - arccos(1))/(u-1) quand u tend vers 1

Posté par
matheuxmatoure : dérivabilité de Arccos((1-x²)/(1+x²)) en 0 03-11-19 à 17:29

ha non mince j'étais parti sur un argch... quel âne !

oublie

Posté par
garnouillere : dérivabilité de Arccos((1-x²)/(1+x²)) en 0 03-11-19 à 17:32

soit x>0, f est continue sur [ 0 ; x ] et dérivable sur ] 0 ; x [

d'après le théorème des accroissements finis, il existe c dans ] 0 ; x [ tel que

\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(c)  donc \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{arccos(\frac{1-x^2}{1+x^2})}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^+}f'(c)=\lim_{c\rightarrow 0^+}f'(c)=2

est-ce correct ?

Posté par
luzakre : dérivabilité de Arccos((1-x²)/(1+x²)) en 0 03-11-19 à 20:49

Presque car je n'aime guère les limites composées (ici c dépend de x).
Il est plus simple d'écrire une majoration par \varepsilon car 0<c<x dans le cas d'une limite à droite.


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