1) Donner les domaines de définition des fonction suivante :  
Tan : x -> tan (x)  
La fonction f qui a x associe tan x est une fonction périodique de période
Pi. Le domaine de définition de f est donc ]-Pi/2;Pi/2[
De plus, f(-x) donc f est impaire. Le domaine de définition se ramène
donc à [O;Pi/2[

2) Soient p et q deux réels. Démontrer que :  
cos(p) - cos(q) = -2sin((p+q)/2)sin((p-q)/2)=-P/2

On sait que sin((p+q)/2)=sin(p/2)cos(q/2)+sin(q/2)cos(p/2)
   De même sin((p-q)/2)=sin(p/2)cos(q/2)-sin(q/2)cos(p/2)
Donc P=(sin(p/2)cos(q/2))²-(sin(q/2)cos(p/2))²
            =(sin²(p/2)(1-sin²(q/2))-cos²(p/2)(1-cos²(q/2))
            =sin²(p/2)-cos²(p/2)-sin²(p/2)sin²(q/2)+cos²(p/2)cos²(q/2)
            =-cos(p)+(1/4)[((1+cosp)/2)((1+cosq)/2)-((1-cosp)/2)((1-cosq)/2)]
            =-cosp-(1/2) (cosp+cosq)
            =(1/2)(cosq-cosp)...

3) Soit x un réel, déterminer pour h réel non nul :  
(cos(x+h) - cos(x))/h  
D'après 2, cos(x+h) - cos(x)=-2sin(x+h/2)sin(h/2)
On divise par h...

4) Démontrer que limite quand h tend vers 0 de  
((sin(h/2))/h) = 1/2.  
En 0, lim(sinx)=lim(x)
Donc lim((sin(h/2))/h)=lim(sin(h/2))*(1/h)=lim((h/2)*(1/h)=1/2

5) En déduire que cos est dérivable sur R et que cos' = -sin.

D'après 3), (cos(x+h) - cos(x))/h=-(2/h)sin(x+h/2)sin(h/2)
et lim(cos(x+h) - cos(x))/h) qd h tend vers 0 = lim(sin(x+h/2))*lim(-(2/h)sin(h/2))=-2sinx*(1/2)=-sinx
     Donc cos est dérivable sur R et cos'=-sin

6) Quelle est le domaine de dérivabilité de la fonction tan?  
Le même que le domaine de définition de tan

7) Démontrer que sur son domaine de dérivabilité,  
tan' = 1/cos² = 1 + tan².

tan'=(sin/cos)'=(sin'cos-cos'sin)/(cos²)=(cos²-(-sin²))/cos²=1/cos²
                   =(sin²+cos²)/cos²=tan²+1

dans 1/ f(x)=-f(-x) donc f est impaire