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Dérivation 7'

Posté par
Mathes1 06-04-20 à 13:06

Bonjour à tous ;
J'ai un petit exercice merci beaucoup d'avance !
Soit la fonction f définie par

f(x)=x\sqrt {x²-x}
Étudier les variations de la fonction f
Alors je propose:
Df=]- ;0][1;+[
Calculons f'(x)
f'(x)=(x\sqrt {x²-x})'=(x)'\sqrt {x²-x}+x(\sqrt{x²-x} )'=\sqrt {x²-x}+x\left( \right \dfrac{2x-1}{2\sqrt{x²-x} })
Df'=]-;0] ]1;+[
On obtient;
Dérivation 7\'
Merci beaucoup d'avance!

Posté par
LeHiboure : Dérivation 7' 06-04-20 à 13:17

Bonjour,

Ton tableau est faux entre 0 et 1,  il n'est pas compatible avec tes domaine Df et Df' qui eux sont justes.

Posté par
Mathes1re : Dérivation 7' 06-04-20 à 13:40

Bonjour ;
Merci beaucoup de m'avoir répondu !
Une petite indication s'il vous plaît ?
Le signe entre 0 et 1 est ni - ni +?
0 et 1 ne sont pas interdite dans la fonction f .
f(0)=0
f(1)=0

Posté par
LeHiboure : Dérivation 7' 06-04-20 à 13:54

Sur ]0 ; 1 [ le terme x²-x est strictement négatif, sa racine carrée n'existe pas, la fonction n'est pas définie, ce qui correspond bien à ton Df.
En revanche, dans ton tableau, tu as indiqué Df < 0, ce qui n'est pas possible car sur cet intervalle f n'existe pas.
Même chose avec f', en excluant en plus 0, car la racine est au dénominateur et la division par 0 n'est pas possible.

Posté par
Mathes1re : Dérivation 7' 06-04-20 à 14:11

Bonjour ;
Merci beaucoup de m'avoir répondu !
Et maintenant ?
(Désolé je oublié de supprimer la décroissance entre 0 et 1 de la fonction f .

Dérivation 7\'

Posté par
LeHiboure : Dérivation 7' 06-04-20 à 14:23

Les valeurs 0 et 1 sont admissibles pour f, donc pas de double barre en 0 et 1 pour f.
De plus, rien ne te dit que f' est > 0 pour x < 0, il faut étudier rigoureusement le signe.

Posté par
Mathes1re : Dérivation 7' 06-04-20 à 14:36

Bonjour ;
D'accord si on prend x=-9
f'(-9)= nombre qui est strictement positive.
C'est pour cela  que j'ai fait + en x<0.

Posté par
LeHiboure : Dérivation 7' 06-04-20 à 15:18

Oh !!! Le signe en une seule valeur ne te renseigne pas sur le signe sur tout un intervalle !!!
Indication : réduis la formule que tu as trouvée pour f' au même dénominateur et explique pourquoi le signe de f' sera le même que celui du numérateur de l'expression que tu vas trouver.

Posté par
Mathes1re : Dérivation 7' 06-04-20 à 16:17

Bonjour ;
D'accord ;
f'(x)=\sqrt {x²-x}+\dfrac{(2x-1)\sqrt{x²-x}}{2x-2}=\dfrac{(2x-2)\sqrt {x²-x}+(2x-1)\sqrt {x²-x}}{2x-2}
=\dfrac{(\sqrt {x²-x})(4x-3)}{2x-2}
Donc on étudier le signe de ;
\dfrac{4x-3}{2x-2}

Posté par
kenavo27re : Dérivation 7' 06-04-20 à 16:22

Bonjour
Oui

Posté par
LeHiboure : Dérivation 7' 06-04-20 à 16:47

Non, le dénominateur reste 2\sqrt{x²-x}

Posté par
kenavo27re : Dérivation 7' 06-04-20 à 16:49

Salut LeHibou

Exact

Posté par
Mathes1re : Dérivation 7' 06-04-20 à 16:54

Bonjour à tous ;
Dérivation 7\'
Merci beaucoup !

Posté par
kenavo27re : Dérivation 7' 06-04-20 à 17:01

Attention

LeHibou @ 06-04-2020 à 16:47

Non, le dénominateur reste 2\sqrt{x²-x}

Posté par
LeHiboure : Dérivation 7' 06-04-20 à 17:16

On va reprendre ça tranquillement :
f'(x) = \sqrt{x²-x} \ + \frac{x(2x-1)}{2\sqrt{x²-x}}
On réduit au même dénominateur :
f'(x) = \frac{2(x²-x)+x(2x-1)}{2\sqrt{x²-x}}
Le dénominateur, là où il est défini, est > 0, on peut donc se contenter d'étudier le signe du numérateur :
N(x) = 2x²-2x+2x²-x
= 4x²-3x
= x(4x-3)
Les racines de N(x) sont 0 et 3/4. Le dénominateur est négatif entre 0 et 3/4 et positif à l'extérieur. En particulier, il est positif pour x < 0, et f(x) est donc croissante pour x < 0.
On retrouve ton résultat intuitif, mais là c'est démontré rigoureusement.

Posté par
Mathes1re : Dérivation 7' 06-04-20 à 17:21

Bonjour ;
le dénominateur reste 2x-2
\dfrac{\sqrt {x²-x}(4x-3)}{2x-2}

Posté par
kenavo27re : Dérivation 7' 06-04-20 à 17:22

LeHibou
Ne serait-ce pas le numérateur au lieu du dénominateur ?

Posté par
LeHiboure : Dérivation 7' 06-04-20 à 17:23

La dérivation de la amène un terme 1/2 et on ne s'en débarasse pas comme ça !

Posté par
LeHiboure : Dérivation 7' 06-04-20 à 17:24

Plutôt 1/(2)

Posté par
Mathes1re : Dérivation 7' 06-04-20 à 18:02

Voici la démonstration ;
=\sqrt {x²-x} +\dfrac{x(2x-1)}{2\sqrt {x²-x}}=\sqrt {x²-x}+\dfrac{2x²-x}{2\sqrt {x²-x}}=\sqrt{x²-x}+\dfrac{(2x²-x)\sqrt {x²-x}}{2(x²-x)}=\sqrt {x²-x}+\dfrac{x(2x-1)\sqrt {x²-x}}{2x(x-1)}=\sqrt {x²-x}+\dfrac{(2x-1)\sqrt {x²-x}}{2(x-1)}
On obtient;
\dfrac{2\sqrt {x²-x}(x-1)+(2x-1)\sqrt {x²-x}}{2(x-1)}=\dfrac{\sqrt {x²-x}(4x-3)}{2x-2}.

Posté par
LeHiboure : Dérivation 7' 06-04-20 à 18:55

En fait, en simplifiant ta formule par (x²-x) en haut et en bas, on trouve des formules "presque" identiques, sauf que en haut tu as un x alors que moi j'ai un x.
Mon problème c'est que je n'arrive pas à tyrouver d'erreur dans ton calcul, mais que je n'arrive pas non plus à en trouver dans le mien.
Ca m'intéresserait que tu regardes mon post de 17h16 pour me dire si tu vois une erreur

Posté par
Mathes1re : Dérivation 7' 06-04-20 à 19:48

Bonsoir ;
Pour votre calcul je ne vois aucun erreur
Si on continuer de simplifier l'expression on trouve ;
f'(x)=\dfrac{2(x²-x)+x(2x-1)}{2\sqrt {x²-x}}=\dfrac{4x²-3x}{2\sqrt {x²-x}}=\dfrac{(4x²-3x)\sqrt {x²-x}}{2(x²-x)}=\dfrac{x(4x-3)\sqrt {x²-x}}{2x(x-1)}=\dfrac{(4x-3)\sqrt {x²-x}}{2(x-1)}

Posté par
Mathes1re : Dérivation 7' 06-04-20 à 23:03

Bonsoir ;
j'ai du mal avec ce tableau de variation
Une petite indication s'il vous plaît ?
Merci beaucoup !

Posté par
LeHiboure : Dérivation 7' 06-04-20 à 23:04

Effectivement, tu as raison, merci !

Posté par
Priamre : Dérivation 7' 06-04-20 à 23:06

A 18h02, à la troisième expression, il manque un  2  devant le premier radical.

Posté par
Mathes1re : Dérivation 7' 06-04-20 à 23:12

Dérivation 7\'
Est ce que on calcule la limite en 0 et 1?

Posté par
LeHiboure : Dérivation 7' 06-04-20 à 23:16

Elles sont très simples, f est définie en 0 et 1, et f(0) = f(1) = 0

Posté par
Mathes1re : Dérivation 7' 06-04-20 à 23:26

Bonsoir ;
Merci beaucoup de m'avoir répondu !
Dérivation 7\'
Est-ce que c'est juste ?
Merci beaucoup à vous !

Posté par
LeHiboure : Dérivation 7' 07-04-20 à 00:11

Oui c'est (presque) juste, je te joins une figure :
- en noir f(x)
- en rouge f'(x)
- en vert l'asymptote verticale x = 1
Note que f' est définie en 0 et f'(0) = 0, donc pas de double barre en 0 pour f'.

Dérivation 7\'

Posté par
Mathes1re : Dérivation 7' 07-04-20 à 14:32

Bonjour ;
Merci beaucoup de m'avoir répondu !
Et maintenant :Dérivation 7\'
Merci beaucoup à vous !

Posté par
Mathes1re : Dérivation 7' 07-04-20 à 23:05

Bonsoir à tous ;

Est ce que ma proposition est juste ?
Merci beaucoup d'avance !

Posté par
Mathes1re : Dérivation 7' 08-04-20 à 23:31

Bonsoir à tous ;
Est ce qu'il y a une réponse ?

Posté par
PLSVUre : Dérivation 7' 09-04-20 à 22:43

ce     2x-2 est faux  ,relis les messages où on te signale cette erreur  et tu persistes...

Posté par
Mathes1re : Dérivation 7' 10-04-20 à 16:17

Bonjour à tous ;
Pourquoi faux ce 2x-2 ?

Citation :

f(x)=x\sqrt {x²-x}
Calculons f'(x)
f'(x)=(x\sqrt {x²-x})'=(x)'\sqrt {x²-x}+x(\sqrt{x²-x} )'=\sqrt {x²-x}+x\left( \right \dfrac{2x-1}{2\sqrt{x²-x} })

=\sqrt {x²-x} +\dfrac{x(2x-1)}{2\sqrt {x²-x}}=\sqrt {x²-x}+\dfrac{2x²-x}{2\sqrt {x²-x}}=\sqrt{x²-x}+\dfrac{(2x²-x)\sqrt {x²-x}}{2(x²-x)}=\sqrt {x²-x}+\dfrac{x(2x-1)\sqrt {x²-x}}{2x(x-1)}=\sqrt {x²-x}+\dfrac{(2x-1)\sqrt {x²-x}}{2(x-1)}
On obtient;
\dfrac{2\sqrt {x²-x}(x-1)+(2x-1)\sqrt {x²-x}}{2(x-1)}=\dfrac{\sqrt {x²-x}(4x-3)}{2x-2}.

Merci beaucoup à vous !

Posté par
LeHiboure : Dérivation 7' 10-04-20 à 16:53

Il n'est pas faux, mais il conserve une indéterminée potentielle car en x = 1 tu as un 0/0.
Alors que tu peux écrire :

\sqrt{x²-x} = \sqrt{x}\sqrt{x-1}
et :

2x-2 = 2(\sqrt{(x-1)})²
ce qui te permet de simplifier en faut et en bas par :

\sqrt{(x-1)}
et il te reste :

\frac{\sqrt{x}(4x-3)}{2\sqrt{x-1}}

Et là tu vois que la dérivée vaut 0 en x = 0 et qu'elle tend vers + quand x tend vers 1+

Posté par
Mathes1re : Dérivation 7' 10-04-20 à 17:06

Bonjour ;
Merci beaucoup de m'avoir répondu !
Donc est ce que mon dernier tableau est juste ?
Merci beaucoup à vous !

Posté par
LeHiboure : Dérivation 7' 10-04-20 à 17:16

Oui il est exact.

Posté par
Mathes1re : Dérivation 7' 10-04-20 à 18:28

Bonjour ;
Merci beaucoup à vous !
Bonne journée !


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