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Dérivation
Bonsoir à tous, je sèche :
Soit a>0 et f : [0;a] ==> R une fonction définie, dérivable sur [0;a] telle que : f(0)=f(a)=0 et f'(0)=0
1) On pose g(x) = f(x)/x
Démontrer que g et dérivable sur ]0;a[, continue sur ]0;a] et prolongeable par continuité en 0. En déduire que g s'annule sur ]0;a[
2) Déduire du 1 qu'il existe un autre point que (0;0) en lequel la tangente a Cf passe par l'origine.
1) Je démontre que g est dérivable comme produits de deux fonctions dérivables sur ]0;a[
Donc continue sur ce même intervalle, puis par limite de g en a qui est égale a g(a) je trouve qu'elle est aussi continue en a.
Prolongeable par continuité en 0 : je fais la limite de g en 0, mais j'arrive a rien, je bloque.
En déduire qu'elle s'annule : Grace a Rolle, je trouve un c de ]0;a[ ou g'(c) =0.
2) Je bloque, je crois même que je comprends mal la question (tangente a Cf c'est quoi? Je veux dire je connais la définition d'une tangente en un point Z de Cf, c'est de ça qu'on parle?) J'ai tenté de traduire la question 1, mais sans succès ...
Merci d'avance !
Il manque quelque chose dans ton énoncé .
Je prends un exemple :
Je pose
..a = 2
..f(x) = 1 - cos(x)
..g(x) = f(x)/x si x 
]0 , a] et g(0) = 0 .
f est donc une application dérivable de [0 , a] vers 
.
On a : f(0) = f(a) = f '(0) = 0
Mais , pour x dans ]0 , a[ , on a f(x) > 0 donc g ne s'y annule pas .
C'est donc g ' qui s'annule dans ]0 , a[ .
Si c ]0 , a[ et g '(c) = 0 , trouve une équation de la droite Tc tangente en (c,f(c)) à la courbe Cf représentative de f .
Montre que (0,0) vérifie cette équation : ça voudra dire que Tc " passe par l'origine " .
salut
1) Je démontre que g est dérivable comme produits de deux fonctions dérivables sur ]0;a[
c'est un peu imprécis ici puisque tu as un quotient et que tout se joue sur les bornes de l'intervalle !!!
g est un quotient de deux fonctions dérivables sur ]0, a] et dont le dénominateur ne s'annule pas sur ]0, a] donc g est dérivable (et donc continue) sur l'intervalle ]0, a]
donc ...
pour la suite de 1/ je rejoins etniopal : c'est g' et on le déduit grace au théorème de Rolle ...
D'accord, merci beaucoup.
Pour la 1 c'est réglé, c'était bien g'(x) (je me suis trompé en recopiant, vraiment désolé ;( )
et je viens de comprendre, j'ai même pas pensé au taux de variation.
La 2 aussi, merci beaucoup c'est bien plus facile comme tu l'énonce ethniopal, je ne comprends toujours pas le sens de l'énoncé. ( il faut comprendre une des tangentes de Cf passe par l'origine )?
Et sans l'énoncé sinon, comment vous arrivez a "pressentir" que la tangente de Cf au point c va passer par l'origine?
[b]Ineedurhelp[/b] :
Tu peux nous donner , pour u [0 , a] , une équation de la droite Tu tangente en (u,f(u)) à la courbe Cf ?
ça va plus vite en le faisant à l'envers ... et de plus on respecte la consigne déduire du 1)
g'(c) = 0 <=> f(c) = f'(c)c <=> f(c) - f(0) = f'(c)(c - 0)
Une remarque :
Pour tout x de [0 , a] , g(x) = f(x)/x est la pente de la droite 
x qui contient les points (0,0) et (x,f(x)) .
Si tu fais un vague dessin de Cf tu dois voir (pressentir comme tu dis ) que cette pente passe par un maximum et un minimum et qu'en un des points c où elle est maximale ou minimale c est tangente à Cf .
C'est ce que ton exo te fait prouver .
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