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Derivation

Posté par
mathsspeaide
10-11-19 à 22:08

Bonjour ça fait maintenant  3 jours que je suis coincé sur cette question aidez moi svp

F est une fct derivable 2 fois sur [a;b] tel que:
F(a) =f(b) et a<b
Montrez que pour tout x de ]a;b[il existe un c de ]a;b[ tel que f(x) = (x-a)(x-b)f''(c)/2

Posté par
lake
re : Derivation 10-11-19 à 23:22

Bonsoir,

Citation :

 F(a) =F(b)


Une question:

   Ne manque-t-il pas dans ton énoncé:

   F(a)=F(b)\red{=0} ?

Posté par
lake
re : Derivation 10-11-19 à 23:44

Ou alors un résultat du type:

  \exists c\in]a,b[\qquad f(x)={\red f(a)}+\dfrac{(x-a)(x-b)}{2}\,f''(c) ?

Posté par
mathsspeaide
re : Derivation 11-11-19 à 08:21

Non non j'ai revérifié  il ne manque aucune donnée

Posté par
lake
re : Derivation 11-11-19 à 10:43

Alors, je ne sais pas faire:

  - On peut montrer ton résultat avec f(a)=f(b){\red =0}

  - On peut montrer que  \exists c\in]a,b[\quad \text{tel que  } f(x)={\red f(a)}+\dfrac{(x-a)(x-b)}{2}\,f''(c) avec seulement f(a)=f(b)

Mais je n'arrive pas à résoudre ton exercice tel quel.

Posté par
carpediem
re : Derivation 11-11-19 à 11:19

salut

prenons f(x) = x^2 sur l'intervalle [-1, 1]

alors f"(x) = 2

et ton théorème dit que f(x) = x^2 = (x - 1)(x + 1) \times \dfrac 2 2

ce qui est évidemment faux ... mais vérifie ce que dit lake (deuxième proposition)

par contre à nouveau f(x) = x^2 - 1 sur le même intervalle vérifie f(-1) = f(1)  = 0 vérifie aussi ce que dit lake (première proposition)

Posté par
lake
re : Derivation 11-11-19 à 11:32

Bonjour,

  Je n'avais pas pensé à chercher des contre exemples

>>mathsspeaide

  Ton énoncé est donc définitivement faux.

  Pour prouver l'une ou l'autre version de ton énoncé modifié, il faut utiliser le théorème de Rolle 2 fois (et même 3 fois) appliqué à une fonction g ad hoc.

Posté par
mathsspeaide
re : Derivation 11-11-19 à 13:40

Merci je vais voir avec mon prof demain pour qu'il corrige l'énoncé  merci beaucoup  encore une fois

Posté par
lake
re : Derivation 11-11-19 à 13:43

De rien mathsspeaide. Essaie de nous tenir au courant...

Posté par
carpediem
re : Derivation 11-11-19 à 13:44

de rien



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