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Dérivation fonctions trigonométriques

Posté par
Jordan591 07-01-20 à 10:23

Bonjour,

Soit une fonction f définie sur R par f(x) = \cos (x) \times \sin (2x) - 2 \sin (x)

On nous demande de dériver, d'établir le tableau de signes de la dérivée, et de construire le tableau de variations de la fonction f(x). J'ai obtenu un résultat faux, mais je voulais vous mettre ma démonstration, car il me semble ne pas avoir fait d'erreur de calculs. Pourtant, le bon résultat est complètement différent.

f'(x) = -sin(x)*sin(2x)+cos(x)*[2cos(2x)]-2cos(x) = -sin(x)*[2sin(x)*cos(x)]+2cos(x)*cos(2x)-2cos(x)=-2sin²(x)*cos(x)+2cos(x)*cos(2x)-2cos(x)=-2[\frac{1-cos(2x)}{2}]*cos(x)+2cos(x)*cos(2x)-2cos(x)=[-1+cos(2x)]*cos(x)+2cos(x)*cos(2x)-2cos(x)=-cos(x)+cos(2x)*cos(x)+2cos(x)*cos(2x)-2cos(x)=3cos(2x)*cos(x)-3cos(x)=3cos(x)[cos(2x)-1]

Sauf que le bon résultat serait f'(x) = 6cos(x)^{3}-6cos(x)

Merci de vos conseils et de votre aide

Posté par
Jordan591re : Dérivation fonctions trigonométriques 07-01-20 à 10:28

Oups, désolé pour la fonction dérivée, je n'avais pas vu le souci de taille, je la réécris :

f'(x) = -sin(x)*sin(2x)+cos (x)[2cos(2x)]-2cos(x)
= -sin(x)[2sin(x)cos(x)]+2cos(x)cos(2x)-2cos(x)
=-2sin²(x)cos(x)+2cos(x)cos(2x)-2cos(x)
=-2[\frac{1-cos(2x)}{2}]cos(x)+2cos(x)cos(2x)-2cos(x)
=[-1 + cos(2x)]cos(x)+2cos(x)cos(2x)-2cos(x)
=-cos(x)+cos(2x)cos(x)+2cos(x)cos(2x)-2cos(x)
=3cos(2x)cos(x)-3cos(x)
= 3cos(x)[cos(2x)-1]

Voilà

Posté par
larrechre : Dérivation fonctions trigonométriques 07-01-20 à 10:35

Bonjour,

Ton truc est exact, mais à la fin, remplace cos(2x) par 2cos^2x-1 et tu vas trouver l'autre forme du résultat.

Posté par
Jordan591re : Dérivation fonctions trigonométriques 07-01-20 à 10:44

Merci de ta réponse.

Ce qui est étrange, c'est qu'en résolvant f'(x) =0, on ne trouve pas du tout les mêmes résultats. Si les dérivées sont les mêmes, pourquoi les solutions sont différentes ?

merci,

Posté par
larrechre : Dérivation fonctions trigonométriques 07-01-20 à 10:55

Je dois m'absenter là, mais il faudrait voir tes calculs. Les solutions sont nécessairement les mêmes.

Posté par
vhamre : Dérivation fonctions trigonométriques 07-01-20 à 11:04

Bonjour,

une bonne pratique est de simplifier "au départ"
f(x) = \cos (x) \times \sin (2x) - 2 \sin (x)=2sin(x)(cos^2(x)-1)=-2sin^3(x)
directement f'(x)=-6sin^2(x)cos(x)

Ce qui est bien égal à f'(x) = 6cos(x)^{3}-6cos(x)=6cos(x)(cos^2(x)-1)

Posté par
Jordan591re : Dérivation fonctions trigonométriques 07-01-20 à 11:08

Oui, au temps pour moi, la résolution de l'équation f'(x)=0 donne bien les mêmes résultats avec les deux formes de dérivées.

Merci à vous,

Posté par
larrechre : Dérivation fonctions trigonométriques 07-01-20 à 12:43


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