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Dérivation implicite

Posté par
Boone11 18-01-22 à 16:41

Bonjour,

On me demande de calculer \frac{dx}{dt} et \frac{d^2x}{dt^2} de la fonction x+e^x=t.

J'ai écris \frac{d}{dt}(x+e^x)=\frac{d}{dt}(t) ce qui m'amène (après calcul) à \frac{dx}{dt}=\frac{1}{1+e^x}.

De façon similaire, \frac{d^2}{dt^2}(x+e^x)=\frac{d^2}{dt^2}(t) mène à \frac{d^2x}{dt^2}=0 car \frac{d^2}{dt^2}(t)=0.

Pourriez-vous me confirmer que c'est juste ?
Merci !
Boone

Posté par
larrechre : Dérivation implicite 18-01-22 à 17:06

Bonjour,

La dérivée seconde est fausse. Pourquoi ne dérives-tu pas \dfrac{1}{1+e^x} pour l'obtenir ?

Cela me paraît plus facile.

Posté par
Boone11re : Dérivation implicite 18-01-22 à 17:14

Merci pour votre réponse.

Je ne vois pas comment faire.  Je dois dériver le point d'arriver de la question 1 par \frac{dx}{dt} ? Dans ce cas je trouve encore 0 car l'expression ne dépend pas de t.

Posté par
larrechre : Dérivation implicite 18-01-22 à 17:17

Mais si, elle dépend de t puisque x est une fonction de t .

Tu appliques le formule f'_t= f'_x \times x'_t

Posté par
Boone11re : Dérivation implicite 18-01-22 à 17:24

Ok, du coup, on obtient \frac{d^2x}{dt^2}=\frac{e^x}{(1+e^x)^2} ?

Posté par
larrechre : Dérivation implicite 18-01-22 à 17:30

Non, déjà il y a une erreur de signe

Ensuite ça c'est, au signe près,  la dérivée de \dfrac{1}{1+e^x} par rapport à x, qu'il faut multiplier par la dérivée de x par rapport à t, calculée en 1/

Posté par
Boone11re : Dérivation implicite 18-01-22 à 17:47

Je ne suis pas sûr de bien comprendre comment faire.

Je dois donc reprendre ce que j'ai fait avant (en changeant le signe) et  multiplier par \frac{1}{\frac{dx}{dt}} ? C'est à dire 1+e^x ?

Posté par
larrechre : Dérivation implicite 18-01-22 à 18:03

Bon, inutile de tourner en rond plus longtemps, j'écris le calcul.

\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{1+e^x} \right)= \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{1+e^x} \right) \dfrac{dx}{dt}= \left(\dfrac{-e^x}{(1+e^x)^2} \right) \dfrac{1}{1+e^x}=\dfrac{-e^x}{(1+e^x)^3}

Essaie maintenant de faire le calcul en partant, comme tu en avais eu l'idée au début, de l'identité

x+e^x=t

Posté par
Boone11re : Dérivation implicite 19-01-22 à 09:01

Merci, je pense avoir compris pour la méthode que vous venez de m'expliquer. Il me manquait le \frac{d}{dt}=\frac{d}{dx}*\frac{dx}{dt}.

Pour la seconde méthode, je pars donc de
\frac{d^2}{dt^2}(x+e^x)=\frac{d^2}{dt^2}(t).

Ensuite j'ai :
\frac{d}{dt}(\frac{d}{dx}(x+e^x)\frac{dx}{dt})=\frac{d}{dt}(1)

Puis :
\frac{d}{dx}((1+e^x)\frac{dx}{dt})\frac{dx}{dt}=0

Ensuite on applique (uv)'=u'v+uv':
(e^x \frac{dx}{dt}+(1+e^x)\frac{dx}{dxdt})\frac{dx}{dt}=0

Donc :
-e^x\frac{dx}{dt}=(1+e^x)\frac{dx}{dxdt}

A partir de là je ne sais plus trop ce que j'ai le droit de simplifier...

A la fin j'ai :
\frac{-e^x}{1+e^x}=\frac{d}{dx} mais ça me semble faux.

Posté par
larrechre : Dérivation implicite 19-01-22 à 12:34

Je crois que j'ai eu tort de t'embarquer là dedans. La bonne méthode, la plus sûre en tout cas, est de commencer par calculer la dérivée première, puis la dérivée de cette dérivée, comme on a fait hier.

L'utilisation du d/dx est à réserver à ce seul usage. Il est proscrit par les puristes, mais bien pratique et en quelque sorte "justifié" par l'usage, mais dès qu'on passe aux ordres supérieurs, les choses se gâtent.

En tout état de cause, il faut procéder pas à pas.  A la suite de la 2ème ligne il aurait mieux valu écrire

Citation :
Puis :
\dfrac{d}{d{\red{t}}}((1+e^x)\dfrac{dx}{dt})}=0

et appliquer (uv)'=u'v+uv'

ce qui donne

(1+e^x)\dfrac{d^2x}{dt^2}+\dfrac{d(1+e^x)}{dx}\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2=0

etc.

Posté par
Boone11re : Dérivation implicite 19-01-22 à 12:52

Ok ok. Merci en tout cas !

Posté par
larrechre : Dérivation implicite 19-01-22 à 12:58

De rien. Au début tout cela paraît déroutant, un peu d'entraînement est nécessaire. Bonne continuation.


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