Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Dérivation locale
Bonjour,
J'ai un Devoir Maison de maths sur la dérivation locale et je suis bloquée pour plusieurs questions...
Voici l'énoncé :
Une population est confrontée à une épidémie pendant plusieurs mois. Le nombre de personnes malades, en milliers, est modélisé par une fonction f définie sur [0;8] et dont on donne la représentation graphique.
La droite passant par les points A (2;96) et B (4;208) est tangente à la courbe au point A.
On admet que le nombre dérivé f'(t) pour t
[0;8], représente la vitesse de propagation de l'épidémie au bout de t mois.
Les questions et le graphique sont dans le fichier joint.
Mes réponses :
Partie A : 1) 6,7 mois
2) x 0 5 8
f(x) flèche vers le haut 210 000 flèche vers le bas
3) Au bout du 5ème mois. 210 000 personnes malades
4) Pour celle-ci je ne suis pas sûre ...
m= yB - yA / xB - xA = 208 - 96 / 4 -2 = 56
y=mx+p --> y = 56x + p --> 96 = 56 x +p --> p = 96 -56 = 40 --> y = 56 x + 40
f(2) = 56 X 2 + 40 = 152
f(2 + h) = 56 X (2 + h) + 40 = 112 + 56h + 40 = 152 + 56 h
taux (h) = f(2 + h) - f(2) / h = 152 + 56h +152 / h = 56h/h = 56
lim taux (h) = 56
h--> 0
Donc f est dérivable en 2 et f'(2) = 56
Partie B :
1) -2t^3 + 12 t ^2 + 32t = 0
-2t (t^2 - 6t -16) = 0
-2t = 0 donc t=0
ou t^2 - 6t -16 = 0
Ensuite je fais le discriminant et je trouve x1 = -2 et x2 = 8
Donc les solutions sont -2; 0 et 8 mais comme t appartient à [0;8] -2 n'est pas dans les solutions.
Par contre je ne sais pas comment interpréter mes résultats...
2) A partir d'ici, je suis bloquée je ne voie pas comment faire....
J'espère que quelqu'un pourra m'aider... Merci !
PDF - 165 Ko
partie A : OK
en 4) f'(2) = 56
m= yB - yA / xB - xA
= 208 - 96 / 4 -2
= 56
ce calcul suffit puisque tu sais que f'(2) est le coefficient directeur de la tangente en A.
partie B
1) oui, ta démarche est bonne.
tu as trouvé par le calcul 3 solutions : -2 , 0 et 8
en effet, on ne retient pas -2 dans le contexte de l'exercice.
les solutions 0 et 8 pour f(t)=0 signifient quoi ?
2)
f'(t) = -6t² + 24t + 32
on te dit que la dérivée représente la vitesse de propagation au bout de t mois.
on cherche t tel que la vitesse est maximale..
comment fais tu pour trouver le maximum d'un polynôme du second degré ?
2) J'utilise bêta pour trouver le maximum d'un polynôme du second degré .
Donc alpha = 2 et bêta = 56
Le 56 est en jours où en semaines ?
tu n'en es pas sûre ?
pourtant f(t) c'est le nombre de malades.
f(t) = 0 signifie "nombre de malades = 0"
et toi, tu as trouvé 0 et 8 comme solution de cette équation. Donc oui, quand t=0, l'épidemie n'a pas encore commencé, il n'y a aucun malade, et quand t=8, il n'y a plus de malades, l'épidemie est finie.
2) J'utilise bêta pour trouver le maximum d'un polynôme du second degré .
Donc alpha = 2 et bêta = 56
Le 56 est en jours où en semaines ?
alpha = 2
alpha est un antécedent, une abscisse, et ici, l'axe des abscisses c'est le temps t.
alpha = 2 veut dire t= 2
beta = f'(alpha) est une image. Ici, f'(t) représente une vitesse de propagation (nombre de malades en milliers / mois).
la vitesse est donc maximale au bout de 2 mois.
OK ?
Lisouus,
le principal est de comprendre ce qu'on te demande. Ne pense pas d'abord à la façon de faire ou à quel calcul tu vas faire...
2b) au bout de combien de mois la vitesse semble -t-elle minimale ? (remarque bien qu'on ne te demande pas un calcul ici, on dit "semble-t-elle"...).
si la vitesse minimale est 0, quand est ce que f'(t) vaut 0 ?
non, f(t)=0 quand t=0
mais f'(t) = -6t² + 24t + 32 donc f'(t)=32 quand x=0
la vitesse, c'est f'(t), la dérivée = coefficient directeur de la tangente à la courbe.
la dérivée est nulle à quel endroit ? ou si tu préfères, la tangente à la courbe a un coefficient directeur nul à quel endroit ?
il n'y a rien à comprendre, detends toi, c'est juste une application du cours.
le coefficient directeur d'une droite // à l'axe des abscisses est nul.
au sommet d'une courbe, la dérivée est nulle.
Donc ici, f'(t)=0 au sommet de la courbe , en t=5.
je te conseille de reprendre ton cours sur les fonctions affines vues en seconde, et sur le polynome du second degré. Tu seras beaucoup plus à l'aise pour répondre.
moi, j'ai considéré qu'une vitesse nulle est minimale. Mais peut-être que toi, tu considères qu'une vitesse minimale peut etre négative. On pourra en discuter quand l'exercice sera fini.
derniere question :
à présent, tu sais quand la vitesse est maximale : en t=2
tu sais quand la vitesse est nulle : en t=5
si tu veux, tu peux établir le tableau de variations de la vitesse pour t allant de 0 à 8.
tu sauras alors très facilement répondre à la dernière question.
Annuler
connectez vous