Un fabricant de médicaments souhaite produire un comprimé sous forme

de tablette parallélépipédique rectangle.  

les contraintes de fabrication sont:  
_la largeur doit être comprise entre 3 et 12mm,  
_la longeur doit être égale à 2 fois la largeur,  
_ le volume doit être de 576mm^3.(cube)  
Compte tenu de ces comtraintes, le fabriquant souhaite que la somme "S"

des aires des différentes faces du comprimé soit la plus petite possible.
  
formule d'un parallèpipède abcdefgh est V=L.l.h

A) On note "x" la largeur de la tablette et "h" sa hauteur.  

     1) Calculer le volume de la tablette à l'aide de "x" et

de "h".  
     2) En déduire l'expression de "h" en fontion de "x".
  
     3) Calculer alors S(x) en mm^2 en fontion de "x".  

B) Soit P la fontion définie sur [3;12] par P(x)=2x^3-432.  

     1) Calculer P(6).  
     2) Vérifier que, pour tout "x" de [3;12],  
          P(x)=(x-6)(2x^2+12x+72).  
     3) Etudier le signe de P(x).  
          (on admettra que, pour tout x de [3;12] , 2x^2+12X+72>0).
  

C) Soif f la fontion définie sur [3;12] par:  

                    f=x^2+(432/x)  
                                 (diviser)  
     1) Calculer f'(x) pour tout x de [3;12].  
     2) A l'aide de B, donner le tableau de viariation de f.
  
     3) Représenter graphiquement f dans un repère orthonormal.  

D):  
     1)Vérifier que S(x)=4f(x)  
     2) En déduire que S(x) admet un minimum que l'on précisera.

Pour quelle valeur de x est-il atteint?  


Je vous remercie beaucoup de m'aider merci merci.