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Dérivé de la fct réciproque

Posté par
AyoubAnnacik 12-06-22 à 21:53

Paisible journée!!
On considère f:I intervalle de R vers R une fct dérivable et monotone (donc bijective) donc elle admit une fct réciproque on le note par f-1, svp comment montrer (f-1)' = 1/f'o(f-1) ??

* modération > le niveau a été modifié  en fonction du profil renseigné *

Posté par
Jocondere : Dérivé de la fct réciproque 12-06-22 à 22:56

Bonsoir. Voici une méthode :
Je prendsg(y)=f^{-1}(y)
Donc x = g(y) ;  y = f(x) ; x_{0} = g(y_{0}) ;  y_{0} = f(x_{0}).
Nous avons alors :
g^{'}(y_{0})=\lim_{y\to y_{0}}\frac{g(y)-g(y_{0})}{y-y_{0}}
g^{'}(y_{0})=\frac{1}{\lim_{y\to y_{0}}\frac{y-y_{0}}{g(y)-g(y_{0})}}
g^{'}(y_{0})=\frac{1}{\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}
f^{-1'}(y_{0})=\frac{1}{f^{'}(x_{0})}
f^{-1'}(y_{0})=\frac{1}{f^{'}(f^{-1}(y_{0}))}

Posté par
AyoubAnnacikre : Dérivé de la fct réciproque 12-06-22 à 23:28

Joconde merci !!

Posté par
Razesre : Dérivé de la fct réciproque 13-06-22 à 01:06

Bonsoir,

Sinon, tu procédé ainsi:

Tu as : (fog)'(x)=g'(x)*f'og(x)

Appliqué la derivation a fof^{-1}(x)=x, et c'est immédiat.

Posté par
AyoubAnnacikre : Dérivé de la fct réciproque 13-06-22 à 02:02

Ouép merci bcp

Posté par
luzakre : Dérivé de la fct réciproque 13-06-22 à 08:39

Bonjour Razes
Ta démo ne vaut que si on sait que f^{-1} est dérivable !

Bonjour Joconde
Le passage de la ligne 6 à la ligne 7 (remplacement de limite selon y à une limite selon x) demanderait des explications.
On ne sait pas "composer" les limites épointées (ici elles doivent l'être même si tu ne l'indiques pas) !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Dérivé de la fct réciproque 13-06-22 à 14:57

Bonjour,
Et, on n'écrit pas un nombre dérivé (comme g'(y0)) avant d'avoir démontré la dérivabilité de g en y0.
Ni un "lim" devant quelque chose avant de démontrer l'existence de la limite.
Par ailleurs, une démonstration qui n'utilise pas f'(x0) non nul ne peut être correcte.


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