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Dérivée d'un cosinus

Posté par
lulu1702
04-01-18 à 18:06

Bonjour !

Je suis bloquée dans un exercice où on me demande de trouver une dérivée ... J'ai commencé mais je n'arrive pas à factoriser !
Quelqu'un pourrait m'aider ?

I(t) = 1440[\frac{1}{3}cos(12t) - cos(4t)]

Pour le moment, j'en suis à :

I'(t) =1440[-\frac{1}{3}sin(3\times 4t) + sin(4t)]

Et donc là j'ai un soucis car je ne sais pas comment réduire ! Je voulais faire
sin(3x4t) + sin(4t) = sin (4 x 4t) mais on ne peut pas ...
Dans l'exercice, il est dit qu'il faut factoriser mais je ne vois pas du tout comment faire ... Je ne trouve pas de formules avec des multiplications dedans ...

Je vous remercie pour votre future aide !

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Dérivée d'un cosinus 04-01-18 à 18:17

Bonjour,

Tu veux factoriser trop tôt !
Et puis, la dérivée de cos(a.t) est égale à -a.sin(a.t)

C'est ensuite qu'on peut factoriser.

Posté par
lulu1702
re : Dérivée d'un cosinus 05-01-18 à 10:14

D'accord merci, donc ça ferait :

I'(t) = 1440(-\frac{1}{3}\times 12sin(12t) + 4sin (4t) )
I'(t) = 1440(-4sin(12t) + 4sin (4t) )
I'(t) = 1440(-4sin(3\times 4t) + 4sin (4t) )

Et là je peux factoriser ?

Posté par
Priam
re : Dérivée d'un cosinus 05-01-18 à 10:37

La dernière ligne est inutile.
Factorise encore par 4, puis applique la formule   sin p - sin q = . . . .

Posté par
lulu1702
re : Dérivée d'un cosinus 05-01-18 à 10:58

Je l'ai mise car dans l'exercice ils nous disent de le faire pour factoriser ...
Si je factorise par 4, ça ferait :

I'(t) = 1440 [ 4 (-sin(12t) + sin (4t)] ?
I'(t) = 1440 [4 (sin(4t) - sin (12t))]

Donc ce que je dois faire, c'est sin(4t) - sin (12t) ? C'est une formule d'addition ?

Posté par
Priam
re : Dérivée d'un cosinus 05-01-18 à 11:07

Oui.  sin p - sinq = 2cos[(p+q)/2]sin[(p-q)/2]

Posté par
lulu1702
re : Dérivée d'un cosinus 05-01-18 à 16:28

C'est une formule d'addition ?

Merci !

Donc si je termine, on obtient :

sin (4t) - sin (12t) = 2cos[(4+12/2)t]sin[(4-12/2)t] = 2cos(8t) x sin (4t)

Donc

I'(t) = 1440 [4(2cos(8t) x sin(4t)]
I'(t) = 5760 x 2cos(8t) x sin (4t) ?

Désolée de demander étape par étape mais j'ai du mal avec les formules d'addition :/

Posté par
Priam
re : Dérivée d'un cosinus 05-01-18 à 16:52

Cela me paraît juste. Il manque toutefois un signe  - .

Posté par
Pirho
re : Dérivée d'un cosinus 05-01-18 à 17:24

Bonsoir,

autre piste qu'on peut appliquer juste après le calcul de la dérivée, tenir compte de sin(12t)=3 sin(4t)-4 sin³(4t)

Posté par
lulu1702
re : Dérivée d'un cosinus 05-01-18 à 17:52

Je ne vois pas où il manque une signe - ? Puisque le - du sin a "disparu" dans la formule ?

Pirho @ 05-01-2018 à 17:24

Bonsoir,

autre piste qu'on peut appliquer juste après le calcul de la dérivée, tenir compte de sin(12t)=3 sin(4t)-4 sin³(4t)


C'est une formule d'addition ? (Je voudrais pas qu'on me demande d'où ça sort et ne pas savoir répondre ! )

Posté par
Pirho
re : Dérivée d'un cosinus 05-01-18 à 17:56

ce sont les formules des angles triples

sin(3x)=3 sin(x)-4 sin^3(x), cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x)

tu ne les as peut-être pas étudiées en cours?

Posté par
lulu1702
re : Dérivée d'un cosinus 05-01-18 à 20:20

Non celles là je ne crois pas les avoir vu ... (ni celle qu'on m'a donné un peu plus haut)

Posté par
lulu1702
re : Dérivée d'un cosinus 07-01-18 à 11:16

Bonjour,

J'ai encore besoin d'aide pour terminer cet exercice ... Grâce à ma dérivée, j'ai trouvé les extrenums et les variations de la fonction.

On me demande de trouver pour quelles valeurs de t, I (la fonction) vaut 800. Est ce que je dois utiliser la dérivée ? Je ne sais pas du tout comment faire !

Merci

Posté par
Priam
re : Dérivée d'un cosinus 07-01-18 à 11:20

Non, pas la dérivée. Il s'agit de résoudre l'équation  I(t) = 800 .

Posté par
lulu1702
re : Dérivée d'un cosinus 10-01-18 à 14:17

Je te remercie, mais je n'y arrive pas :/

Y'a - t - il un moyen de résoudre une équation comme celle - ci :

cos (12t) - cos (4t) = 5/3 ?

Faut le faire avec un tableau de valeur ? Y'a un moyen de "sortir" le 12 et le 4 ?

Merci encore !

Posté par
lulu1702
re : Dérivée d'un cosinus 10-01-18 à 16:03

En fait je me suis trompée ^^'

L'équation est la suivante :

cos (12t) - 3cos(4t) = 5/3

J'ai beau chercher partout, je ne trouve pas le moyen de résoudre cette équation :/

Merci à ceux qui pourront m'aider !

Posté par
Pirho
re : Dérivée d'un cosinus 10-01-18 à 17:14

utiliser les formules que je t'ai données le 05-01-18 à 17h56, sinon,je ne vois pas

3 cos(12t)-9cos(4t)=5

3[4cos^3(4t)-3cos(4t)]-9cos(4t)-5=0

12 cos^3(4t)-18 cos(4t)-5=0

pose x=cos(4t)

12 x^3-18x-5=0

mais je ne crois pas que tu peux résoudre une telle équation, à moins que l'énoncé de départ ne soit pas celui que tu nous a donné?

Posté par
lulu1702
re : Dérivée d'un cosinus 10-01-18 à 17:39

Dans l'énoncé, il précise juste que
sin (3x) = - 4sinsin(3x) = - 4sin^{3}x + 3sinx en plus :/

Posté par
lulu1702
re : Dérivée d'un cosinus 10-01-18 à 17:40

(pardon pour le début j'ai écrit 2 fois la même chose)

Posté par
lulu1702
re : Dérivée d'un cosinus 10-01-18 à 17:44

En même temps, j'ai pu me tromper dans le début de l'équation aussi ! Je la remets en entière :

1440 (1/3cos(12t) - cos(4t) ) = 800
480cos(12t) - 1440cos(4t) = 800
480[cos(12t) - 3cos(4t)] = 800
cos(12t) - 3cos(4t) = 5/3

Désolée du triple post x)

Posté par
Pirho
re : Dérivée d'un cosinus 10-01-18 à 17:55

çà donne bien la relation donnée dans mon post précédent, mais je pense qu'en terminale tu n'as jamais résolu de telles équations, non?

Posté par
lulu1702
re : Dérivée d'un cosinus 10-01-18 à 18:05

Non pas du tout ... On a jamais résolu des équations avec des cubes ... Mais je ne vois pas du tout comment je pourrais les résoudre autrement !
Je sais approximativement les valeurs que je devrais trouver grâce à une conjecture (0,467 et 1,1)

Posté par
Pirho
re : Dérivée d'un cosinus 10-01-18 à 18:12

avec un logiciel de calcul, je trouve

t=0.4675....+\dfrac{k\pi}{2}

t=0.4675....-\dfrac{k\pi}{2}

Posté par
lulu1702
re : Dérivée d'un cosinus 10-01-18 à 18:19

Sur un graphique je trouve aussi 0,4675 mais je trouve en plus 1,1.

J'ai oublié de préciser qu'il fallait résoudre l'équation sur l'intervalle [\pi/8; 3\pi/8].

Sinon je mets que j'ai trouvé les résultats avec un tableau de valeurs :S ça devrait sufir



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