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Dérivée d'une fonction avec tangente

Posté par
lilafi 25-09-17 à 16:02

Bonjour, je suis en licence et j'ai un DM de math à faire. Cependant c'est la première fois que je rencontre ce genre de fonction et du coup j'ai un peu de mal... J?espère que vous pourrez m'aider.

Donc j'ai la fonction f(x)= tan(x) + 1/2(tan(x))²) qui est définie sur ]-/2;/2[
1° Calculer la dérivée de f. Montrer que cette dérivée vérifie pour tout x appartenant à Df : f'(x)=(1+tan(x))(1+tan(x))²)

J'ai calculer la dérivée mais je ne savais pas trop comment faire, j'ai trouvée f'(x)=1+tan²x + tan (x), ce qui  ne correspond pas avec la dérivée demandée lorsque je développe...

Pouvez vous m'éclairer sur le sujet... Merci d'avance de votre aide.

Posté par
Razesre : Dérivée d'une fonction avec tangente 25-09-17 à 16:12

lilafi @ 25-09-2017 à 16:02

Bonjour, je suis en licence et j'ai un DM de math à faire. Cependant c'est la première fois que je rencontre ce genre de fonction et du coup j'ai un peu de mal... J'espère que vous pourrez m'aider.

Donc j'ai la fonction f(x)= tan(x) + 1/2(tan(x))²) qui est définie sur ]-/2;/2[
1° Calculer la dérivée de f. Montrer que cette dérivée vérifie pour tout x appartenant à Df : f'(x)=(1+tan(x))(1+tan(x))²)

J'ai calculer la dérivée mais je ne savais pas trop comment faire, j'ai trouvée f'(x)=1+tan²x + tan (x), ce qui  ne correspond pas avec la dérivée demandée lorsque je développe...

Pouvez vous m'éclairer sur le sujet... Merci d'avance de votre aide.
Combien de parenthèses?

Posté par
lilafire : Dérivée d'une fonction avec tangente 25-09-17 à 16:19

c'est f(x)= tan x + 1/2(tan x)²

pardon

Posté par
etniopalre : Dérivée d'une fonction avec tangente 25-09-17 à 16:20

Ton   1/2(tan(x))²)   c'est   \frac{1}{2}tan²(x)      ou   \frac{1}{2tan²(x)} ?

Posté par
lilafire : Dérivée d'une fonction avec tangente 25-09-17 à 16:21

etniopal @ 25-09-2017 à 16:20

Ton   1/2(tan(x))²)   c'est   \frac{1}{2}tan²(x)      ou   \frac{1}{2tan²(x)} ?


La première proposition ( pardon j'ai un peu de mal avec les fonctions sur le clavier de l'ordi)

Posté par
Razesre : Dérivée d'une fonction avec tangente 25-09-17 à 16:24

u=\tan x\\ \\ u'=\left (\tan x \right )'=\left (1+\tan^2 x \right )\\ \\ \\ \left (u^{2}\right )'=2u'u \\ \\ f(x)=u+\frac{1}{2}u^{2}

Posté par
lilafire : Dérivée d'une fonction avec tangente 25-09-17 à 16:28

J'ai réussi à dérivée la première partie de la fonction mais c'est la deuxième partie ou j'ai plus de mal à comprendre comment la dérivée

Posté par
AllEnre : Dérivée d'une fonction avec tangente 25-09-17 à 16:45

Bonour,
Relis le poste de Razes, il t'a donné tout le nécessaire.

Posté par
lilafire : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 15:44

J'ai trouvé f'(x)= 1+tan²x +tan x + tan^3x

quand je factorise je trouve bien la forme qui est proposée dans le sujet.

Je dois calculer les limites de f(x) au borne de son domaine de définition soit -/2 et /2

J'ai donc remplacer x dans l'expression de la fonction par /2 et j'ai trouvé une valeur étrange soit 0,6955... Je ne vois pas comment calculer autrement les limites.

Posté par
Razesre : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 15:48

lilafi @ 26-09-2017 à 15:44

J'ai trouvé f'(x)= 1+tan²x +tan x + tan^3x
C'est bon.

Posté par
lilafire : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 15:54

Comment je peux calculer les limites de la fonction ? J'ai beaucoup de mal, c'est la première fois que je rencontre une fonction avec tangente et je ne vois absolument pas comment m'y prendre

Posté par
Razesre : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 15:58

Comment se comporte la fonction \tan au voisinage \dfrac{\pi }{2}

Posté par
lilafire : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 16:00

En regardant sur géogébra elle à tendance a tendre vers +inf

Posté par
Razesre : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 16:15

Tu auras géogébra avec toi aux DS? Tu dois connaitre par le  comportement des fonctions trigonométriques.
Alors, comment as tu pu trouver la valeur 0,6955.?

Posté par
lilafire : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 16:36

Je sais que les limites de la fonction tan quand x tend vers -/2 la limite est -inf et quand x tend vers /2 la limite est +inf
Du coup je pense que c'est pareil pour 1/2(tan x)² ?

Posté par
Razesre : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 17:21

lilafi @ 26-09-2017 à 16:36

Je sais que les limites de la fonction tan quand x tend vers -/2 la limite est -inf et quand x tend vers /2 la limite est +inf
Du coup je pense que c'est pareil pour 1/2(tan x)² ?
[ oui sauf -inf  avec le carré

quote=Razes @ 26-09-2017 à 16:15]Tu auras géogébra avec toi aux DS? Tu dois connaitre par le  comportement des fonctions trigonométriques.
Alors, comment as tu pu trouver la valeur 0,6955.?
??

Posté par
lilafire : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 17:33

Donc comme c'est un carré la limite de 1/2(tan x)²  quand x tend vers -/2 c'est +inf c'est ça ?
Mais du coup je vais me retrouver avec une forme indéterminée non ?

J'ai trouvée 0,6955... parce que je me suis trompé j'avais remplacer par 1/2 ai lieu de /2 dans l'expression

Posté par
Razesre : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 17:47

lilafi @ 26-09-2017 à 17:33

Donc comme c'est un carré la limite de 1/2(tan x)²  quand x tend vers -/2 c'est +inf c'est ça ? oui
Mais du coup je vais me retrouver avec une forme indéterminée non ?oui, comment faire pour enlever l'indétermination?

J'ai trouvée 0,6955... parce que je me suis trompé j'avais remplacer par 1/2 ai lieu de /2 dans l'expression ok

Posté par
lilafire : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 17:49

Je vois pas trop, peut être une factorisation ?

Posté par
Razesre : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 18:00

oui, par la plus grande puissance

Posté par
lilafire : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 18:01

Donc déjà la limite en /2 de f(x) on trouve +inf
et donc pour la limite en - /2 de f(x) on a une forme indéterminée. Donc on factorise par tan(x) on a donc (tan x )(1 + 1/2 tan x)

lim tan (x) quand x tend vers  - /2 c'est - inf
lin 1 + 1/2 tan x quand x tend vers  - /2 c'est - inf
on a donc un produit et donc lim f(x) quand x tend vers  - /2 c'est + inf

Posté par
Razesre : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 18:10

oui.?
Autrement si tu factorise par \tan ^2x tu obtient quoi

Posté par
lilafire : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 18:13

je vois pas... Mais ça suffit de factoriser par tan ? Cela fonctionne non ?

Posté par
Razesre : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 18:21

oui.

On peut le faire ainsi:

\lim_{x\to-\frac{\pi }{2}^{+}}\left ( \tan x + \tan ^{2}x\right )=\lim_{x\to-\frac{\pi }{2}^{+}}\tan ^{2}x\left ( \dfrac{1}{\tan x} + 1\right )

L'intérieur de la parenthèse tend vers 1

Posté par
lilafire : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 18:34

Il est préférable de le faire en factorisant par   tan²x ou cela n'a pas vraiment d'importance ?

Dans la suite des question il fallait que je trouve a Df tel que f est strictement monotone sur chacun des intervalles tel
I1= ]-/2, a] et I2= ]a, /2[

J'ai donc fait :
Une fonction est monotone lorsqu'elle est constamment croissante ou constamment décroissante sur un intervalle.  f est strictement décroissante sur ]-/2; arctan(1)] et strictement croissante sur ] arctan (1); /2[. La fonction admet un minimun en arctan (1). (Je sais tous ça je l'ai trouver grâce à un tableau de signe juste avant).

Ainsi j'ai trouvé a = arctan (1)

je voulais savoir si mon raisonnement et ma justification étaient correctes.

Posté par
Razesre : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 18:47

Citation :
Il est préférable de le faire en factorisant par   tan²x ou cela n'a pas vraiment d'importance ?
Sache qu'on peut le faire ainsi.

Posté par
Razesre : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 18:56

tu es sûr de arctan(1) ? Comment l'as tu obtenu?

Posté par
lilafire : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 19:11

C'est le minimum de la fonction.
1+ tan(x)=0
tan(x)=1
x=arctan(1)

après je l'ai retrouver graphiquement

Mais le raisonnement est bon ?

Posté par
Razesre : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 19:12

lilafi @ 26-09-2017 à 19:11

C'est le minimum de la fonction.
1+ tan(x)=0
tan(x)=1
x=arctan(1)

après je l'ai retrouver graphiquement

Mais le raisonnement est bon ?

Posté par
lilafire : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 20:08

Tan (x) =-1

Mais c'est comme ça le principe pour les intervalles ou la fonction est monotone ?

Posté par
Razesre : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 20:19

Que veux tu dire?

Posté par
lilafire : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 20:34

La fonction est monotone entre -/2 et le minimum de la fonction puis entre son minimum et /2

Posté par
Razesre : Dérivée d'une fonction avec tangente 26-09-17 à 22:57

C'est la formulation de tes phrases qu'il faut revoir.


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