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Niveau maths sup
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Dérivée d'une fonction exo 1

Posté par
CloudNine
11-01-17 à 18:02

Bonsoir,
Je suis bloqué à certaines questions.
Exercice 1:     f(x) = x2 * (x2)*ln(x2)    si x est différent de 0
                              0   si x= 0

1) Vérifier que f est dérivable sur R et calculer f'

Comment vérifier que f est dérivable sur R ? Dois-je faire la limite du taux d'accroissement ?
lim (x-> 0-)  f'(x) = ( (f(x) - f(x0) ) / (x - x0)
lim (x->0-) f'(x) = ( x^2*ln(x^2)  - 0 ) / ( x - 0)
lim (x->0-) f'(x) = ( x^2*ln(x^2))   /  x
lim (x->0-) f'(x) = x*ln(x^2)
lim (x->0-) f'(x) = 2xln(x)
Or lim  (x->0) x*ln(x) = 0
Donc lim lim (x->0-) f'(x) = 2xln(x) = 0

Je suis bloqué ici, je ne vois pas comment déterminer la limite  à droite

(J'ai réussi à dérivé)

2) La fonction f est-elle deux fois dérivable sur R ?

Comment le montrer ?

Exercice 2: *****
Merci d'avance pour vos aides,

malou > 1 sujet = 1 exo ton autre exo est dans un 2e sujet ouvert à ton nom

Posté par
jsvdb
re : Dérivée d'une fonction 11-01-17 à 18:04

Bonjour CloudNine

Si j'ai bien compris, f(x) = 2x^4\ln(x) avec f(0) = 0, c'est ça ?

Posté par
jsvdb
re : Dérivée d'une fonction exo 1 11-01-17 à 18:06

Je rembobine :  f(x) = 2x^4\ln(|x|)

Posté par
CloudNine
re : Dérivée d'une fonction exo 1 11-01-17 à 18:06

Bonsoir,
Je vous prie de vouloir m'excuser pour cette erreur que j'ai commise.
f(x) = x^2 * ln(x^2)

Posté par
verdurin
re : Dérivée d'une fonction exo 1 11-01-17 à 18:25

Bonsoir,
tout d'abord f est dérivable sur R* comme produit  de fonctions dérivables.

En zéro, il faut effectivement calculer la limite du taux accroissement.

Mais ce que tu as fait s'applique sans utiliser l'hypothèse x<0.
Tu as donc écrit une démonstration correcte, à quelques fautes de frappes près.

Posté par
jsvdb
re : Dérivée d'une fonction exo 1 11-01-17 à 18:32

Donc f(x) = 2x^2\ln(|x|) avec f(0) = 0

1) Effectivement, tu n'as pas le choix, tu dois voir deux choses :

- pour x > 0 : \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \dfrac{f(x)}{x} = 2x\ln(x)

- pour x < 0 : \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \dfrac{f(x)}{x} = 2x\ln(-x)

Et ces deux expressions tendent vers 0 en 0 donc f est dérivable en 0 et f'(0) = 0

Partout ailleurs, donc pour x \neq 0 : f'(x) = 4x(\ln(x^2) + 1), qui tend bien vers 0 en 0.

Donc f est continument dérivable, donc est C^1.

f est-elle deux fois dérivable :

- pour  x \neq 0 : pas de soucis.

- pour voir si l'objet qu'on aimerait noter f''(0) existe ou pas, il faut alors regarder les deux mêmes choses dont je parle ci-dessus, mais avec f' à la place de f !

- pour x > 0 : \dfrac{f'(x)-f'(0)}{x-0} = \dfrac{f'(x)}{x} = ...

- pour x < 0 : \dfrac{f'(x)-f'(0)}{x-0} = \dfrac{f'(x)}{x} = ...

Enfin, en cas d'existence de f''(0), f''(x) existe alors sur \R et on peut en étudier la continuité. Si f'' est continue, alors f sera déclarée C^2
 \\ .

Posté par
CloudNine
re : Dérivée d'une fonction exo 1 11-01-17 à 18:43

Bonsoir,
Merci à verdurin

verdurin @ 11-01-2017 à 18:25

Bonsoir,
tout d'abord f est dérivable sur R* comme produit  de fonctions dérivables.

En zéro, il faut effectivement calculer la limite du taux accroissement.

Mais ce que tu as fait s'applique sans utiliser l'hypothèse x<0.
Tu as donc écrit une démonstration correcte, à quelques fautes de frappes près.


Merci, j'avais trouvé que f est dérivable sur R+* car ln(x) est dérivable sur R+* .  J'ai donc faux

Posté par
CloudNine
re : Dérivée d'une fonction exo 1 11-01-17 à 18:44

jsvdb @ 11-01-2017 à 18:32

Donc f(x) = 2x^2\ln(|x|) avec f(0) = 0

1) Effectivement, tu n'as pas le choix, tu dois voir deux choses :

- pour x > 0 : \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \dfrac{f(x)}{x} = 2x\ln(x)

- pour x < 0 : \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \dfrac{f(x)}{x} = 2x\ln(-x)

Et ces deux expressions tendent vers 0 en 0 donc f est dérivable en 0 et f'(0) = 0

Partout ailleurs, donc pour x \neq 0 : f'(x) = 4x(\ln(x^2) + 1), qui tend bien vers 0 en 0.

Donc f est continument dérivable, donc est C^1.

f est-elle deux fois dérivable :

- pour  x \neq 0 : pas de soucis.

- pour voir si l'objet qu'on aimerait noter f''(0) existe ou pas, il faut alors regarder les deux mêmes choses dont je parle ci-dessus, mais avec f' à la place de f !

- pour x > 0 : \dfrac{f'(x)-f'(0)}{x-0} = \dfrac{f'(x)}{x} = ...

- pour x < 0 : \dfrac{f'(x)-f'(0)}{x-0} = \dfrac{f'(x)}{x} = ...

Enfin, en cas d'existence de f''(0), f''(x) existe alors sur \R et on peut en étudier la continuité. Si f'' est continue, alors f sera déclarée C^2
 \\ .


Merci beaucoup jsvdb, par curiosité qu'est-ce que '' C^1 ".  Je ne l'ai pas encore vu.  

Posté par
jsvdb
re : Dérivée d'une fonction exo 1 11-01-17 à 18:49

Allez, en image.

Dérivée d'une fonction exo 1

Posté par
jsvdb
re : Dérivée d'une fonction exo 1 11-01-17 à 18:51

La dérivée :

Dérivée d'une fonction exo 1

Posté par
jsvdb
re : Dérivée d'une fonction exo 1 11-01-17 à 18:53

La dérivée seconde pour laquelle y'a un walou en 0 :

Dérivée d'une fonction exo 1

Posté par
jsvdb
re : Dérivée d'une fonction exo 1 11-01-17 à 18:58

CloudNine @ 11-01-2017 à 18:44

qu'est-ce que '' C^1 ".  Je ne l'ai pas encore vu.  

Une fonction est dite avoir le caractère C^1 si elle est dérivable et que la dérivée est continue.
Dans cet exemple, ce n'est pas le cas. f'(0) existe. Certes il a fallu le calculer "à la main" et vérifier "à la main" que f' était continue en 0.

Une fonction est dite avoir le caractère C^2 si elle est deux fois dérivable et que la dérivée seconde est continue.
Dans cet exemple, ce n'est pas le cas. f''(0) n'existe même pas.

Voici un exemple de fonction dérivable sur \R mais non C^1 : j(x) = \dfrac{\sin(x)}{x} \text { avec } j(0) = 0

Posté par
CloudNine
re : Dérivée d'une fonction exo 1 11-01-17 à 19:11

jsvdb @ 11-01-2017 à 18:32

Donc f(x) = 2x^2\ln(|x|) avec f(0) = 0

1) Effectivement, tu n'as pas le choix, tu dois voir deux choses :

- pour x > 0 : \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \dfrac{f(x)}{x} = 2x\ln(x)

- pour x < 0 : \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \dfrac{f(x)}{x} = 2x\ln(-x)

Et ces deux expressions tendent vers 0 en 0 donc f est dérivable en 0 et f'(0) = 0

Partout ailleurs, donc pour x \neq 0 : f'(x) = 4x(\ln(x^2) + 1), qui tend bien vers 0 en 0.

Donc f est continument dérivable, donc est C^1.

f est-elle deux fois dérivable :

- pour  x \neq 0 : pas de soucis.

- pour voir si l'objet qu'on aimerait noter f''(0) existe ou pas, il faut alors regarder les deux mêmes choses dont je parle ci-dessus, mais avec f' à la place de f !

- pour x > 0 : \dfrac{f'(x)-f'(0)}{x-0} = \dfrac{f'(x)}{x} = ...

- pour x < 0 : \dfrac{f'(x)-f'(0)}{x-0} = \dfrac{f'(x)}{x} = ...

Enfin, en cas d'existence de f''(0), f''(x) existe alors sur \R et on peut en étudier la continuité. Si f'' est continue, alors f sera déclarée C^2
 \\ .


Je pense que vous avez fait une erreur pour la dérivée.
Je trouve 2x(ln(x^2) +1)

Merci beaucoup mais je ne comprend pas la représentation graphique.
CloudNine,

Posté par
CloudNine
re : Dérivée d'une fonction exo 1 11-01-17 à 19:11

jsvdb @ 11-01-2017 à 18:58

CloudNine @ 11-01-2017 à 18:44

qu'est-ce que '' C^1 ".  Je ne l'ai pas encore vu.  

Une fonction est dite avoir le caractère C^1 si elle est dérivable et que la dérivée est continue.
Dans cet exemple, ce n'est pas le cas. f'(0) existe. Certes il a fallu le calculer "à la main" et vérifier "à la main" que f' était continue en 0.

Une fonction est dite avoir le caractère C^2 si elle est deux fois dérivable et que la dérivée seconde est continue.
Dans cet exemple, ce n'est pas le cas. f''(0) n'existe même pas.

Voici un exemple de fonction dérivable sur \R mais non C^1 : j(x) = \dfrac{\sin(x)}{x} \text { avec } j(0) = 0


Merci beaucoup pour vos explications,

Posté par
CloudNine
re : Dérivée d'une fonction exo 1 11-01-17 à 19:29

jsvdb @ 11-01-2017 à 18:32

Donc f(x) = 2x^2\ln(|x|) avec f(0) = 0

1) Effectivement, tu n'as pas le choix, tu dois voir deux choses :

- pour x > 0 : \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \dfrac{f(x)}{x} = 2x\ln(x)

- pour x < 0 : \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \dfrac{f(x)}{x} = 2x\ln(-x)

Et ces deux expressions tendent vers 0 en 0 donc f est dérivable en 0 et f'(0) = 0

Partout ailleurs, donc pour x \neq 0 : f'(x) = 4x(\ln(x^2) + 1), qui tend bien vers 0 en 0.

Donc f est continument dérivable, donc est C^1.

f est-elle deux fois dérivable :

- pour  x \neq 0 : pas de soucis.

- pour voir si l'objet qu'on aimerait noter f''(0) existe ou pas, il faut alors regarder les deux mêmes choses dont je parle ci-dessus, mais avec f' à la place de f !

- pour x > 0 : \dfrac{f'(x)-f'(0)}{x-0} = \dfrac{f'(x)}{x} = ...

- pour x < 0 : \dfrac{f'(x)-f'(0)}{x-0} = \dfrac{f'(x)}{x} = ...

Enfin, en cas d'existence de f''(0), f''(x) existe alors sur \R et on peut en étudier la continuité. Si f'' est continue, alors f sera déclarée C^2
 \\ .


Voilà ce que j'ai fait pour la 2)
Pour x > 0 : ( f'(x) - f'(x0) ) / (x - x0) = 2ln(x)
Pour x < 0:  ( f'(x) - f'(x0) ) / (x - x0) = 2ln(-x)
lim (x-> 0-) f''(x) = lim x-> 0+ f''(x) = -oo
Donc f n'est pas deux fois dérivable.  

Posté par
jsvdb
re : Dérivée d'une fonction exo 1 11-01-17 à 19:47

Il ne faut pas se compliquer la vie :

( f'(x) - f'(0) ) / (x - 0) = f'(x) / x = 4(\ln(x^2)+1) pour tout x 0 qui tend vers - en 0.

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