Bonjour,
une intégrale c'est une différence de primitives, non?

Oui mais je n'arrive pas à avancer avec les primitives ..

N'essaie pas de la calculer explicitement, tu as juste besoin de savoir que l'intégrale est une différence de primitive, une fois que tu dérives, ces primitives disparaissent...

Si tu appelles G une primitive de racine(1+u^2)/u^3, alors tu as

f(x)=x^2*(G(x)+cte)

Mais on ne prend pas en compte les bornes d'intégration ?

Comment tu calcules une intégrale à l'aide de primitives?

Ben la différence des deux primitives ayant pour valeurs les bornes d'intégration. Mais on a + infini dans les bornes

Ça ne change rien avec +oo, mais de toute façon tu peux l'écrire G+cte non?

... Je ne vois pas

si G est une primitive de g, que vaut
?

G(b) - G(a)

Ok et si b=x et et a=oo ça fait la même chose mais avec b=x et a=oo ...

Est-ce que tes bornes sont bien dans le bon sens?

Avec ton aide j'ai pu comprendre en fait ! La dérivée de f nous fera disparaître G pour donner g(+) et g(x), et comme g(+) =0, je retombe bien sur l'expression souhaitée ! Merci !

Mais maintenant, je dois montrer que :

f(x) = 1/2 * 1+x² + (x²/2) * 1/(u * 1+u²) du , avec l'intégrale allant de x à +.

Il faut se servir de l'expression de f' non ?

Oui c'est l'idée (14h16) mais est ce que les bornes d'intégration sont dans le bon ordre (mon post de 14h07)?

Essentiellement tu as donc

f(x)=x^2(G(x)+cte)  ou  f(x)=x^2*(cte-G(x)) dépendamment de l'ordre des bornes d'intégration (j'attends ta confirmation).

x->x^2 est C1 de même que G

Finalement tu peux dériver en remarquant que c'est un produit...

En réalité je ne tiens pas compte de l'ordre des bornes puisqu'elles sont données comme-ci dans l'énoncé... Est-ce une erreur ?

Pour x > 0 on a donc f(x) = x²v(x) où v(x) = _x⁺ (1 + u²)^1/2u^-3  (j'espère que tu as dit pouquoi cette intégrale existe) .
Le problème est de voir (sans avoir à "calculer l'intégrale " càd  exprimer v(x) en  n'utilisant pas le signe mais uniquement des fonctions déjà connues) que  v est dérivabe et que , pour x > 0 , on a : v '(x) = -(1 + x²)^1/2x^-3 . Ce qui gêne c'est le + car si on avait  _a^x .. on saurait faire .
Tu prends  a > 0 . Pour tout x > 0 tu as (Chasles) :  v(a) - v(x) =  _a^x ..  

Non ce n'est pas une erreur, je voulais juste en être sur, j'avais confondu un de tes - avec un + mais c'est probablement ce que j'ai dit à 14h07 maintenant que j'ai vu mon "erreur" de lecture

C'est donc la dérivée d'un produit de la forme

f(x)=x^2*(cte-G(x))

Oui voilà c'est ça !
Et pour après du coup (mon message de 14:18), faut-il se servir de l'expression de f ' ?

donc en dérivant


maintenant tu te rends compte que

et
en remplaçant on a donc

CQFD

Oui c'est ce que j'ai trouvé ! Mais pour la suite ? ^^ (désolé d'insister mais j'ai vraiment besoin d'aide :/ )

Bin y a pas de suite dans ton énoncé ... l'exercice que tu as posté est 100% résolu ...

Ok, je n'avais pas compris que 14h18 était la suite de ton énoncé. Il faut éclaircir un peu ta formule, est-ce

Tu peux soit essayer d'y aller directement, soit montrer que ce que l'on te donne vérifie l'équation différentielle que tu as trouvée

oups, j'avais commencé une phrase que je n'avais pas fini, est ce que

* Oui c'est bien cette expression
* Je n'avais pas pensé à vérifier qu'elle était solution de l'équa diff... Je pensais établir l'égalité directement, mais je me retrouve très vite bloqué :
en fait dans l'expression de f de départ, je multiplie le numérateur et le dénominateur par 1+u² pour ensuite séparer mon intégrale en deux et avoir un des termes demandés (à un coefficient 1/2 près). Mais cela m'oblige à résoudre l'intégrale :

x ⁺ 1/(u³*1+u²) du ...

Une opinion là dessus ?

Tu poses g(x) = " 1/2 * 1+x2 + ..., avec l'intégrale allant de x à +" .

Tu dérives g . Si tu trouves que g ' = f 'c'est quie  f - g  est constante .
Si f et g admettent des limites et que celles ci sont égales tu auras ton résultat  
,

D'accord ! Je vais essayer tout de suite et je te tiens au courant !

J'arrive à l'égalité suivante :

g '(x) - f '(x) = (2/x) * [g(x) - f(x)]
...

Qu'est ce qu'on peut en tirer ?

Je n'ai pas vérifié tes calculs, mais ce qu'on peut tirer de ce que tu dis c'est que

g(x)-f(x)=Cx^2 pour une certaine constante C.

Hum... Est-ce que si on part de l'expression de f que l'on nous demande d'établir et que l'on en déduit la relation précédemment trouvée entre f '(x) et f(x), est-ce que cela prouve que f s'exprime de cette manière-là ?