Niveau Licence Maths 1e ann

Dérivée de argsh(x)

Posté par
Scaramouche 16-04-13 à 22:20

Bonsoir à tous,

J'ai donc le problème suivant:

Je dois calculer la dérivée de argsh(x) = ln(x +(x²+1))

Je pose f(x) = goh(x) avec g(x) = ln(x), h(x) = x +(x²+1)

Ainsi j'ai g'(x) = 1/x et h'(x) = 1 + x(x²+1)^-1/2

Et comme j'ai (goh)'(x) = h'(x)g'oh(x) j'ai donc

f'(x) = 1 + x(x²+1)^-1/2/ x +(x²+1)

Et je sais que je suis sensé parvenir à f'(x) = 1/(x²+1) Or je ne vois pas comment y arriver avec ce que j'ai. quelques indications pour me débloquer sont donc les bienvenues.

Merci par avance pour votre aide.

Posté par re : Dérivée de argsh(x) 16-04-13 à 22:42

la derivée de x+V(x²+1) est 1+x/V(x²+1) soit en réduisant au même dénominateur
(V(x²+1)+x)/V(x²+1)
ensuite la dérivée de ln u est u'/u qui se simplifie

Posté par re : Dérivée de argsh(x) 16-04-13 à 22:46

Factorise en bas par (x²+1) et tu verras ça va tout seul.

Sinon il y a une variante qui a l'avantage de pas avoir à connaître l'expression en ln :

ch²(argsh(x))-sh²(argsh(x))=ch²(argsh(x))-x²=1 donc ch²(argsh(x))=1+x² soit ch(argsh(x))=(1+x²)

On dérive : argsh'(x)ch'(argsh(x))=x/(x²+1)
soit argsh'(x)sh(argsh(x)=x/(x²+1)
soit argsh'(x)*x=x/(x²+1)

Et on retrouve bien argsh'(x)=1/(x²+1)

Posté par re : Dérivée de argsh(x) 18-04-13 à 00:32

Bonjour.

$\text{La méthode classique pour trouver la dérivée de la fonction réciproque }$    $f^{-1}$    $\text{d'une fonction }$ $f$ $\text{est de dériver l'identité }$    $(f^{-1} o f)(x)=x.$

$\text{On aura en posant }$    $g=f^{-1}:$    $(g o f)'(x)=g'(f(x)) \times f'(x)=1$    $\text{    d'où }$    $g'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}.$    $\text{Mais si }$ $u=f(x)$    $\text{ alors }$    $x=g(u),$    $\text{ et:}$    $g'(u)=\frac{1}{f'(g(u))}$

$\text{Comme ici }$    $sh'(x)=ch(x),$    $\text{ alors }$    $(argsh)'(u)=\frac{1}{ch(g(u))}$ $\text{et de l'identité }$    $ch^2(t)-sh^2(t)=1,$    $\text{ on en déduit: }$ $ch^2(t)=1+sh^2(t)$

$\text{ et }$ $ch(g(u)=+\sqrt{1+sh^2(g(u))}=+\sqrt{1+u^2}$    $\text{  car }$    $sh(argsh(u))=u,$    $\text{(on a pris le signe + devant la racine car }$    $ch(t) >0.$ )

$\text{Finalement, en revenant à la variable }$    $x,$    $\text{ on aura }$ $argsh'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

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