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Dérivée de la fonction réciproque 1'

Posté par
Mathes1 07-12-20 à 10:26

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
Soit f la fonction définie sur IR par:
f(x)=\sqrt{x²+1}-x
a) Montrer que f admet une fonction réciproque définie sur un intervalle J à déterminer
b) Montrer que f-1 est dérivable en 1 et calculer (f-1)'(1)
a) On a f est continue sur son domain de definition , donc continue sur IR (en plus f définie sur IR)
• On a f est dérivable sur IR et x IR :
f '(x)=(\sqrt{x²+1})'-(x)'=\dfrac{2x}{2\sqrt{x²+1}}-1=\dfrac{x}{\sqrt{x²+1}}-1=\dfrac{x-\sqrt{x²+1}}{\sqrt{x²+1}}
Le signe de f ' est le signe de
x - \sqrt{x²+1}
Dérivée de la fonction réciproque 1\'
• D'où f est strictement décroissante sur IR
Puisque f est continue et strictement décroissante sur IR alors elle admet une fonction réciproque définie sur J=f(I) avec J=[0;+[
b) montrer que f -1est dérivable en 1
Est ce que je dois calculer f-1
Merci beaucoup d'avance

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Dérivée de la fonction réciproque 1' 07-12-20 à 11:00

Bonjour,
Continuité et dérivabilité sont affirmées sans être justifiées.
Idem pour le signe de x-(x2+1), et les limites.

L'intervalle J est ouvert, pas fermé en 0.

As-tu une formule dans ton cours pour le nombre dérivé d'une fonction réciproque ?

Posté par
Mathes1re : Dérivée de la fonction réciproque 1' 07-12-20 à 11:36

Bonjour
D'accord:
f est continue sur son Df
Et Df={xR/x2+1≥0}={xR/x²≥-1}
x2≥-1 <=> (xR)
Donc f est continue et dérivable sur IR
•calculer \lim_{x \to +\infty} f(x)
Le calcul direct me donne une forme indéterminée <<->>\dfrac{(\sqrt{x²+1}-x)(\sqrt{x²+1}+x)}{\sqrt{x²+1}+x}=\dfrac{x²+1-x²}{\sqrt{x²+1}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{x²+1}+x}=\dfrac{x*\dfrac{1}{x}}{x(\sqrt{1+\dfrac{1}{x²}}+1)}=\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x²}}+1}=0
•calculer \lim_{x \to -\infty } \sqrt{x²+1}-x=+\infty
(On a pas de problème de forme indéterminée)
Ensuite l'équation
x-\sqrt{x²+1}=0<=>x=\sqrt{x²+1}<=>x²=x²+1<=>0=1
Ce qui est impossible , d'où x
•J'ai tapé  - dans le signe de f ' car lorsque je fait la compensation de  x dans f ' par tous les nombre de IR me donne un nombre négatif
• j'ai uniquement cette formule :
(f-1)(x)=\dfrac{1}{f '(f^{-1}(x))}
Merci beaucoup

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Dérivée de la fonction réciproque 1' 07-12-20 à 12:09

Pour la limite en +, on peut arrêter la transformation à \; \dfrac{1}{\sqrt{x²+1}+x} , car il n'y a plus de forme indéterminée.

Je n'ai pas compris l'histoire de l'équation. C'est pour justifier le signe de la dérivée ?
x2+1 > x2 0 \; et la fonction racine carrée est croissante stricte sur +.
Donc (x2+1) > (x2) . Ce qui donne \; (x2+1) > |x| x .
D'où la dérivée strictement négative.

Pour b), il faut utiliser cette formule.

Posté par
Mathes1re : Dérivée de la fonction réciproque 1' 07-12-20 à 12:28

Bonjour
Oui pour justifier le signe de la dérivée
b)
(f^{-1})'(1)=\dfrac{1}{f '(f^{-1}(1))}
•je calcule f-1(1)
f(y)=1<=>\sqrt{y²+1}-y=1 <=>\sqrt{y²+1}=1+y<=>y²+1=(y+1)²<=>y²+1=y²+2y+1<=> 0=2y+1-1<=>y=0
D'où \boxed{\red{(f^{-1})'(1)=\dfrac{1}{f '(0)}=-\dfrac{1}{1}=-1}}
Merci beaucoup

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Dérivée de la fonction réciproque 1' 07-12-20 à 14:12

C'est tout bon pour b).
Tu vois qu'il suffisait d'ouvrir ton cours

Pour continuité et dérivabilité :
Autant traiter la dérivabilité et en déduire la continuité.
Si une fonction u est dérivable et strictement positive en un réel a, alors la fonction u est dérivable en a et de nombre dérivé que tu sais calculer.
Ici u(x) = x2+1.
Il suffit donc de dire que u est dérivable, car polynôme, et strictement positive.

Bonne continuation

Posté par
Mathes1re : Dérivée de la fonction réciproque 1' 07-12-20 à 14:17

Merci beaucoup
Bonne journée


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